Question

FEI SP A RETA R CONTEM O PONTO A(1,1) E É PERPENDICULAR A RETA S DA EQUAÇÃO X+2Y-1=0

Answer 1

Resposta: Letra e) 1/5

Explicação passo-a-passo:

Colocando a reta s em função de y temos:

$y_s=-\frac{1}{2}x+ \frac{1}{2}$

O coeficiente angular da reta s é -1/2. Como r é perpendicular à reta s, então seu coeficiente angular deverá ser o inverso e oposto do coeficiente angular de s. Ou seja, a reta r tem a forma:

$y=ax+b$ como o coeficiente angular é o inverso e oposto a -1/2, então a =2

$y_r=2x+b$

Como o ponto A pertence a r, então vou substituir para encontrar o valor de b:

$1=2*1+b\\b=-1$

A reta r tem a forma:

$y_r=2x-1$

O ponto de intersecção das retas é onde o x e y delas possuem o mesmo valor, ou seja:

$y_r=y_s$

$2x-1=-\frac{1}{2}x+ \frac{1}{2} \\4x-2=-x+1\\5x=3\\x=\frac{3}{5}$

Assim, o valor de y do ponto B pode ser calculado substituindo o valor de x em qualquer reta. Escolhi a reta r:

$y_r=2*\frac{3}{5} -1\\y_r=\frac{1}{5}$

Logo, o ponto B = (3/5, 1/5). Para calcular a área formada pelo triângulo com os vértices O, A e B, é só fazer o módulo do determinante (D) desses 3 pontos dividido por 2:

$Area=\frac{|D|}{2}$

Calculando D:

     | 0    0    1 | 0    0

D = | 1     1     1 | 1      1

     |3/5  1/5  1 |3/5  1/5

$D= \frac{1}{5} -\frac{3}{5} \\D=-\frac{2}{5}$

Logo, a área do triângulo AOB é:

$Area=\frac{|D|}{2}=\frac{|-\frac{2}{5}|}{2} = \frac{\frac{2}{5}}{2}=\frac{1}{5}$