Question

(FEI) Sendo tg(x) = t, prova-se que cos(2x) = (1 - t²)/(1 + t²). Então:

a) Achar sen(2x) em função de t.
b) Resolver a equação sen(2x) + cos(2x) = 1.

Answer 1

a)  Pela identidade do seno do arco duplo, temos que

     $\mathsf{sen\,2x=2\,sen\,x\,cos\,x}$


Como é pressuposta a existência de  tg x,  devemos ter  cos x ≠ 0.  Então, podemos multiplicar e dividir o lado direito por  cos² x:

     $\mathsf{sen\,2x=\dfrac{2\,sen\,x\,cos\,x\cdot cos^2\,x}{cos^2\,x}}\\\\\\ \mathsf{sen\,2x=2\cdot \dfrac{sen\,x}{cos\,x}\cdot \dfrac{cos\,x}{cos\,x}\cdot cos^2\,x}\\\\\\ \mathsf{sen\,2x=2\,tg\,x\cdot 1\cdot cos^2\,x}\\\\\\ \mathsf{sen\,2x=2\,tg\,x\cdot \dfrac{1}{sec^2\,x}}$


Mas  sec² x = 1 + tg² x:

     $\mathsf{sen\,2x=2\,tg\,x\cdot \dfrac{1}{1+tg^2\,x}}\\\\\\ \mathsf{sen\,2x=\dfrac{2\,tg\,x}{1+tg^2\,x}}$


Como  tg x = t,

     $\therefore\quad\mathsf{sen\,2x=\dfrac{2t}{1+t^2}}$        ✔


b)  Resolver a equação  sen 2x + cos 2x = 1.

Observe que a equação não possui solução para  cos x = 0,  pois nesse caso, sempre teríamos

     •  cos 2x = 2 cos² x − 1

        cos 2x = 2 · 0² − 1 =

        cos 2x = − 1


     •  sen 2x = 2 sen x cos x = 0

        sen 2x = 0


de modo que

     sen 2x + cos 2x

     = 0 − 1

     = − 1 ≠ 1     para  cos x = 0.


Logo, devemos ter  cos x ≠ 0,  e consequentemente  t = tg x  está bem definida para as soluções da equação.

Substituindo  sen 2x  e  cos 2x  pelas respectivas fórmulas em  t,  a equação fica

     $\mathsf{\dfrac{2t}{1+t^2}+\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=1}$


Como  1 + t² > 0  para todo  t  real,  podemos multiplicar os dois lados por  1 + t²:

     $\mathsf{2t+(1-t^2)=1+t^2}\\\\ \mathsf{0=\diagup\!\!\!\! 1+t^2-2t-\diagup\!\!\!\! 1+t^2}\\\\ \mathsf{0=2t^2-2t}\\\\ \mathsf{2t\cdot (t-1)=0}\\\\ \begin{array}{rcl} \mathsf{t=0}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{t-1=0}\\\\ \mathsf{t=0}&\quad\mathsf{ou}\quad&\mathsf{t=1} \end{array}$


Substitua de volta  t = tg x:

     $\mathsf{tg\,x=0\quad ou\quad tg\,x=1}$

     $\mathsf{x=k\cdot \pi\quad ou\quad x=\dfrac{\pi}{4}+k\cdot \pi}$   ⟵    soluções

com  k  inteiro.


Bons estudos! :-)