Question

(FEI-73) Chama-se de ponto fixo de uma função f um número real x tal que f(x)=x. Os pontos fixos da função f(x)=1+1/x são:

Answer 1

O ponto fixo é a intersecção de f(x) com a função y = x. Assim, temos:
$1+ \frac{1}{x}= x \\ \\ x +1 = x^{2} \\ \\ - x^{2} +x +1 =0 \\ \\ Delta=(1) ^{2} -4(-1)(1) = 5 \\ \\ x= \frac{-1- \sqrt{5} }{-2} \\ \\ x=\frac{-1+\sqrt{5} }{-2}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os pontos fixos da referida função são respectivamente:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf F'\bigg(\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\,\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf F''\bigg(\frac{1 + \sqrt{5}}{2},\,\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\bigg)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Seja a função:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} f(x) = 1 + \frac{1}{x}\end{gathered}$

O ponto fixo de uma função é todo o ponto que não é alterado por uma aplicação.

Dizemos que "F" é um ponto fixo de "f(x)", sendo representado por...

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} F = (x, f(x))\end{gathered}$

...se, e somente se:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = f(x)\end{gathered}$

Para encontrar os pontos fixos de uma função devemos calcular os pontos te interseção da função dada com a função que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares.

Se a bissetriz dos quadrantes ímpares pode ser escrita como:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x) = x\end{gathered}$

Então podemos montar o seguinte sistema de equações:

          $\LARGE\begin{cases} f(x) = 1 + \frac{1}{x}\\g(x) = x\end{cases}$

Então temos:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x) = f(x)\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 1 + \frac{1}{x}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = \frac{x + 1}{x}\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = x + 1\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - x - 1 = 0\end{gathered}$

Aplicando a fórmula resolutiva da equação do segundo grau, temos:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-(-1) \pm\sqrt{(-1)^{2} - 4\cdot1\cdot(-1)}}{2\cdot 1}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1\pm\sqrt{1 + 4}}{2}\end{gathered} }$

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\end{gathered} }$

Portanto, os valores das abscissas dos pontos fixos são:

         $\LARGE\begin{cases} x_{F'} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\x_{F''} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{cases}$

Se:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} g(x) = x \Longrightarrow y = x\end{gathered}$

Então, as ordenadas dos pontos fixos são:

           $\LARGE\begin{cases} y_{F'} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\y_{F''} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\end{cases}$

✅ Portanto, os pontos fixos são:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} F'\bigg(\frac{1 - \sqrt{5}}{2},\,\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} F''\bigg(\frac{1 + \sqrt{5}}{2},\,\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\bigg)\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$