Question

(feb-sp) a solução da equação 2tg²x+secx+1=0 é ?

Answer 1

A partir da relação fundamental

$sin^2(x)+cos^2(x)=1$

dividindo tudo por $cos^2(x)$

$\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}+1=\frac{1}{cos^2(x)}$

reescrevendo

$tan^2(x)+1=sec^2(x)$

Agora pegando a função que temos no exercício

$2tan^2(x)+sec(x)+1=0$

vamos somar 1 e subtrair 1 nessa equação, fazendo isso, é a mesma coisa que se eu tivesse somado 0 a equação

$2tan^2(x)+sec(x)+1+1-1=0$

$2tan^2(x)+sec(x)+2-1=0$

agora vamos juntar a tangente e o +2

$2tan^2(x)+2+sec(x)-1=0$

tira em evidência o 2

$2*[tan^2(x)+1]+sec(x)-1=0$

E agora?! consegue observar isso?!

$2*\overbrace{[tan^2(x)+1]}^{sec^2(x)}+sec(x)-1=0$

$2*sec^2(x)+sec(x)-1=0$

dai acabou o exercício

$sec(x)=a$

$2a^2+a-1=0$

agora resolvendo por Bháskara ou soma e produto.

$\boxed{\boxed{a_1=-1~~e~~a_2=\frac{1}{2}}}$

Ai voltando para a função

$sec(x)=-1$

ou

$sec(x)=\frac{1}{2}$

Dai você tem que saber que

$sec(x)=\frac{1}{cos(x)}$

ai conferindo, qual é a solução possível

$\frac{1}{cos(x)}=-1$

$cos(x)=-1$


$\frac{1}{cos(x)}=\frac{1}{2}$

$cos(x)=2$

Entre qual intervalo a imagem do cosseno está entre $[-1,1]$ ??

Só o primeiro, portanto

$cos(x)=-1$

$\boxed{\boxed{x=\pi+2\pi*k~~onde~~k\in\mathbb{Z}}}$