Question

Fazendo 3a = 2a + a, demonstre que sen 3a = 3 sen a – 4 sen³ a

Answer 1

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de seno e cosseno da soma ,seno  e cosseno do arco duplo que  de fato sen(3a)=3sen(a)-4sen³(a).✅

Seno da soma de dois arcos

Dados dois arcos a e b cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante é possível demonstrar para quaisquer outros quadrantes que

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen(a+b)=sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a)\end{array}}$

Seno do arco duplo

Fazendo-se b=a no seno da soma podemos obter o seno do arco duplo.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen(2a)=sen(a+a)=sen(a)cos(a)+sen(a)cos(a)\\\sf sen(2a)=2sen(a)cos(a)\end{array}}$

cosseno da soma

Dados a,b dois arcos que pertencem ao primeiro quadrante, demonstra-se que  para os demais mais quadrantes vale a seguinte expressão:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)\end{array}}$

Cosseno do arco duplo

Fazendo b=a no cosseno da soma temos o cosseno do arco duplo.

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf cos(2a)=cos(a+a)=cos(a)cos(a)-sen(a)sen(a)\\\sf cos(2a)=cos^2(a)-sen^2(a)\end{array}}$

lembrando que cos²(a)=1-sen²(a) a expressão em função do seno fica:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf cos(2a)=1-sen^2(a)-sen^2(a)\\\sf cos(2a)=1-2sen^2(a)\end{array}}$

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui iremos utilizar o recurso do seno do arco duplo em conjunto com o seno da soma para obter o sen(3a).

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen(3a)=sen(2a+a)=sen(2a)\cdot cos(a)+sen(a)\cdot cos(2a)\\\sf sen(3a)=\underbrace{\sf 2sen(a)cos(a)}_{ sen(2a)}\cdot cos(a)+sen(a)\cdot\underbrace{\sf 1-sen^2(a)}_{cos(2a)}\\\\\sf sen(3a)=2sen(a)cos^2(a)+sen(a)-sen^3(a)\\\sf sen(3a)=2sen(a)\cdot (1-sen^2(a))+sen(a)-sen^3(a)\\\sf sen(3a)=2sen(a)-2sen^3(a)+sen(a)-sen^3(a)\\\sf sen(3a)=3sen(a)-4sen^3(a)\end{array}}$

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