Question

Favor me ajuda e como calcular! Calcule as integrais seguintes pelo método da substituição:

Answer 1

1) Considere que:

$u=\sqrt{x+3}$.

Então, $du=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$ ∴ dx = 2udu.

Além disso, temos que u² - 3 = x.

Assim,

$\int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}dx=\int\frac{u.2u}{u^2-3-1}du=2\int\frac{u^2}{u^2-4}=2\int-\frac{1}{u+2}+\frac{1}{u-2}+1du=2(-ln(u+2)+ln(u-2)+u)+c$

Portanto, fazendo a substituição dos valores de u, encontramos como resultado:

$\int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}dx=2(-ln(\sqrt{x+3}+2)+ln(\sqrt{x+3}-2)+\sqrt{x+3})$

$\int\frac{\sqrt{x+3}}{x-1}dx=2(ln\frac{(\sqrt{x+3}-2)}{(\sqrt{x+3}+2)}+\sqrt{x+3})+c$

2) Lembre-se que:

$sen^{-1}(x)=arcsen(x)$.

Sendo assim, considere que:

u = arcsen(x).

Então, $du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Assim, pelo método da substituição, temos que:

$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}arcsen(x)}=\int\frac{1}{u}=ln(u)+c=ln(arcsen(x))+c$.