Question

Fatore tg x – tg y – tg(x – y), escrevendo como um produto de apenas funções trigonométricas simples.

Answer 1

Olá Lukyo.


Identidade trigonométrica usada.

$\star~\boxed{\boxed{\mathsf{tg(a\pm b)=\dfrac{tg~a\pm~tg~b}{1\mp tg~a\cdot tg~b}}}}$


Organizando e fatorando a expressão.

$\mathsf{tg~x-~tg~y-tg~(x-y)}\\\\\\\mathsf{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\qquad}}}}\\\\\mathsf{\Big(tg(x-y)=\dfrac{tg~x-tg~y}{1+tg~x\cdot tg~y}\Big)~~\cdot\big(1+tg~x\cdot tg~y\big)\qquad~~ \star}\\\\\\\mathsf{tg(x-y)+tg(x-y)\cdot tg~x\cdot tg~y=\boxed{\mathsf{tg~x-~tg~y}}\quad ~\quad~\star}\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad~~}$

$\boxed{\mathsf{tg~x-tg~y}}~\mathsf{-~tg(x-y)}}\\\\\mathsf{\diagup\!\!\!\!tg(x-y)+tg(x-y)\cdot tg~x\cdot tg~y-\diagup\!\!\!\!\!tg(x-y)}\\\\\boxed{\mathsf{tg(x-y)\cdot tg~x\cdot tg~y}}$


Concluímos a fatoração.


Dúvidas? comente.

Answer 2

$Dada \ a \ express\tilde{a}o \ , \\ \\ tg(x) \ - \ tg(y) \ - \ tg(x-y) \\ \\ Sabendo \ que \ , \\ \\ \boxed{ tg(a) \ = \ \frac{sen(a)}{sen(a)}}$

$\frac{sen(x)}{cos(x)} \ - \frac{sen(y)}{cos(y)} \ - \ \frac{sen(x-y)}{cos(x-y)} \\ \\ \frac{sen(x) . cos(y) \ - sen(y).cos(x)}{cos(x).sen(y)} \ - \ \frac{sen(x-y)}{cos(x-y)} \\ \\ Sendo \ que \ , \\ \\ \boxed{ sen(a-b) \ = \ sen(a).cos(b) \ - \ sen(b).cos(a)}$

$\frac{sen(x-y)}{cos(x).cos(y)} \ - \ \frac{sen(x-y)}{cos(x-y)} \\ \\ sen(x-y) \ . \ \Big[ \ \frac{1}{co(x).cos(y)} - \frac{1}{cos(x-y)} \ \Big ] \\ \\ sen(x-y) \ . \ \Big[ \ \frac{cos(x-y) \ - \ cos(x).cos(y)}{cos(x).cos(y).cos(x-y)} \ \Big]$

$Lembrando \ que \ , \\ \\ \boxed{ cos(a-b) \ = \ cos(a).cos(b) \ + \ sen(a).sen(b) }$

$sen(x-y) \ . \ \Big[ \frac{1}{cos(x-y)} \Big] \Big[ \frac{cos(x).cos(y) \ + \ sen(x).sen(y) \ - \ cos(x).cos(y) }{cos(x).cos(y)} \Big] \\ \\ \frac{sen(x-y)}{cos(x-y)} \ . \ \frac{sen(x).sen(y)}{cos(x).cos(y)} \\ \\ \frac{sen(x-y)}{cos(x-y)} \ . \ \frac{sen(x)}{cos(x)} \ . \ \frac{sen(y)}{cos(y)} \\ \\ tg(x-y) \ . \ tg(x) \ . \ tg(y)$

$Ent\tilde{a}o \ a \ express\tilde{a}o \ , \\ \\ \boxed{ \boxed{tg(x) \ - \ tg(y) \ - tg(x-y) \ \Rightarrow \ tg(x-y) \ . \ tg(x) \ . \ tg(y) } }$