Fatore os seguintes polinomios;
a)x^4-y^4
b)a^2 b^4 - x^2
c)a^6-b^6
d)x^10-100
e)y^8-9
Obs:^=elevado ao
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
a) x^4-y^4
Vemos aqui que podemos fatorar do seguinte modo:
(x²-y²)(x²+y²)
Também é percebido que (x²-y²) é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado: ou seja a²-b²=(a-b)(a+b)
Concluímos então que:
x^4-y^4=(x-y)(x+y)(x²+y²)
b) a²b^4-x²
Vemos que b^4=(b²)²
Então podemos escrever (ab²)²-x²
Temos novamente quadrado da diferença, observe que se ab²=u
Então temos u²-x²
Então (u-x)(u+x)
Como u=ab² substituindo u temos: (ab²-x)(ab²+x) é a resposta final.
c) a^6-b^6
Novamente uma diferença de quadrados, porque?
Pense comigo a^6=(a³)² analogamente para b^6
Então podemos reescrever a^6-b^6 como (a³)²-(b³)²
Então usando a propriedade da diferença de quadrados temos:
(a³-b³)(a³+b³)
Lembre-se que: a³-b³= (a-b)(a²+ab+b²)
E que a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)
Então temos que a^6-b^6 = (a-b)(a²+ab+b²)(a+b)(a²-ab+b²)
d) x^10-100
Vemos que x^10= (x^5)²
e 100=10²
Então reescrevendo: (x^5)²-10²
De novo! Diferença de quadrados
Então: (x^5-10)(x^5+10)
e) y^8-9
Como no exercício anterior percebemos nesse que: y^8=(y^4)²
e 9=3²
Temos então: (y^4)²-3²
Usando a propriedade de diferença de quadrados chegamos em:
(y^4-3)(y^4+3)
Propriedades usadas para resolução dos exercícios:
a²-b²=(a-b)(a+b)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
a³+b³= (a+b)(a²-ab+b²)
O primeiro resultado é imediato dado que:
a²=a*a e b²=b*b
a*a-b*b
colocando a-b em evidência temos: (a-b)(a+b)
o Segundo temos que:
a³-b³, colocando a-b em evidência
(a-b)(a²+b²) vemos que abrindo isso temos
a³+ab²-a²b-b² vemos que não chegamos em a³=b³
Precisa-se cancelar ab²-a²b colocando ab em evidência
ab(b-a) para cancelar vemos que se ab(a-b) cancela ab²-a²b
Portanto
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
Análogo para a³+b³