Question

Fatore o polinômio p(x)= x³-15x²+75x-125

Answer 1

p(x)= x³- 15x² + 75x -125 

Se olharmos bem temos um produto notável, o cubo da diferença: "x³ - 125"
Esse produto notável diz que:
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) 

Com base nisso:
p(x)= x³ - 125 - 15x² + 75x
p(x) = (x - 5)(x² + 5x + 25) - 15x² + 75x   <<< coloque -15x em evidencia:
p(x) = (x-5)(x² + 5x + 25) -15x(x - 5)           

Propriedade a fatoração:
a(b+c) + d(b+c) = (a+d)(b + c)       com base nisso:

p(x) = (x-5)(x² + 5x + 25) -15x(x - 5)           
p(x) = (x-5)(x² + 5x + 25 -15x)
p(x) = (x-5)(x² - 10x + 25)                 

Agora basta fatorarmos o polinômio do segundo grau formado nos parênteses, para isso ache suas raizes por bhaskara ou soma e produto e coloque-as na expressão a(x-x1)(x - x2), note que nesse caso as raízes serão 5 e 5, logo:
a(x - x1)(x - x2) = 
1(x - 5)(x - 5) = 
(x - 5)² , substituindo no polinômio:

p(x) = (x-5)(x² - 10x + 25)                 
p(x) = (x-5)(x-5)²               
p(x) = (x-5)³

Bons estudos