Question

Fatore completamente o polinômio x^4 + y^4.

Answer 1

$x^4+y^4$
$(x^2)^2+(y^2)^2$

Substituindo x^2 por a, e y^2 por b, temos:

$a^2+b^2$

Essa fatoração não é possível no conjunto dos números reais, então analisemos no conjunto dos números complexos.

Para fatorarmos, vamos encontrar as raízes, tratando b como se fosse uma constante e aplicarmos a forma fatorada:
$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)=0$

$a^2+b^2=0$
$a^2=-b^2$
$a=\pm \sqrt{-b^2}$
$a=\pm i*|b|$
$a=\pm bi$

Substituiremos de volta as variáveis x e y, porém dividindo a expressão acima em + e - para analisarmos separadamente

$a=bi$
$x^2=y^2*i$
$x=\pm \sqrt{y^2i}$
$x=\pm|y| \sqrt{i}$
$x=\pm y\sqrt{i}$

Agora a parte negativa

$a=-bi$
$x^2=-y^2i$
$x= \pm \sqrt{-y^2i}$
$x= \pm |y|i\sqrt{i}$
$x= \pm yi\sqrt{i}$

As raízes são:

$x_1=y \sqrt{i}$
$x_2=-y \sqrt{i}$
$x_3=yi \sqrt{i}$
$x_4=-yi \sqrt{i}$

Portanto, a fatoração completa do polinômio é:

$(x-y \sqrt{i})*(x+ y\sqrt{i})*(x-yi \sqrt{i})*(x+yi \sqrt{i})$