Fatore completamente o polinômio 4x² + 12xy + 9y² - 100z². Escreva os procedimentos necessários para a construção da resposta,
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4.x² + 12.x.y + 9.y² - 100.z²
Antes de mais nada, precisamos verificar se não há nenhum produto notável no polinômio que possa ser simplificado.
4.x² + 12.x.y + 9.y² é um bom exemplo.
Sabemos que o quadrado da soma é o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo.
Vejamos se a expressão corresponde a essa definição:
√4.x² = 2.x
√9.y² = 3.y
2.2.x.3.y = 12.x.y
Como pode ver, esse trinômio retirado do polinômio corresponde exatamente ao quadrado da soma (2.x + 3.y)².
Portanto, nosso polinômio original ficará assim:
4.x² + 12.x.y + 9.y² - 100.z² = (2.x + 3.y)² - 100.z²
Observe agora que temos a diferença de dois quadrados.
O diferença de quadrados é o produto da raiz quadrada do primeiro mais a raiz quadrada do segundo multiplicado pela raiz quadrada do primeiro menos a raiz quadrada do segundo.
Logo:
(√ (2.x + 3.y)² + √100.z²).((√ (2.x + 3.y)² - √100.z²) =
(2.x + 3.y + 10.z).(2.x + 3.y - 10.z)
Será que ainda dá para aplicarmos alguma simplificação?
Não. Não há mais como simplificar. Portanto, o polinômio está irredutível.
Antes de mais nada, precisamos verificar se não há nenhum produto notável no polinômio que possa ser simplificado.
4.x² + 12.x.y + 9.y² é um bom exemplo.
Sabemos que o quadrado da soma é o quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo mais o quadrado do segundo.
Vejamos se a expressão corresponde a essa definição:
√4.x² = 2.x
√9.y² = 3.y
2.2.x.3.y = 12.x.y
Como pode ver, esse trinômio retirado do polinômio corresponde exatamente ao quadrado da soma (2.x + 3.y)².
Portanto, nosso polinômio original ficará assim:
4.x² + 12.x.y + 9.y² - 100.z² = (2.x + 3.y)² - 100.z²
Observe agora que temos a diferença de dois quadrados.
O diferença de quadrados é o produto da raiz quadrada do primeiro mais a raiz quadrada do segundo multiplicado pela raiz quadrada do primeiro menos a raiz quadrada do segundo.
Logo:
(√ (2.x + 3.y)² + √100.z²).((√ (2.x + 3.y)² - √100.z²) =
(2.x + 3.y + 10.z).(2.x + 3.y - 10.z)
Será que ainda dá para aplicarmos alguma simplificação?
Não. Não há mais como simplificar. Portanto, o polinômio está irredutível.
Fiquei em dúvida nessa questão, pois, minha professora havia falado que, se você tem um quadrinômio, automaticamente já pode resolver na forma de agrupamento. Mas eu não estava entendendo, porque, o primeiro e o segundo termo ao meu ver, podem ser resolvidos, e o segundo e o terceiro também, mas e o último? Por isso não estava conseguindo fazer.
Pois é... Eu resolvi no comentário colocando em evidência o termo comum dos dois primeiros termos do polinômio. Em seguida, sobrou a diferença de dois quadrados que eu fatorei na forma de um produto da soma pela diferença.
Até aí está correto, apesar de ter resultado na soma de duas parcelas.
O problema é que existe uma forma mais simplificada ainda de fatoração que resulta no produto de dois trinômios apenas.
Por isso, entre duas formas de fatoração possíveis, devemos sempre empregar
Até aí está correto, apesar de ter resultado na soma de duas parcelas.
O problema é que existe uma forma mais simplificada ainda de fatoração que resulta no produto de dois trinômios apenas.
Por isso, entre duas formas de fatoração possíveis, devemos sempre empregar
empregar aquela que torna a expressão mais simples, de preferência como um produto de duas expressões.
Entendeu? Por esse motivo minha resposta está mais adequada que o meu comentário acima.
Okay, obrigada novamente :)
Se não for abusar da sua boa vontade novamente, será que poderia resolver mais essas perguntas pra mim? http://brainly.com.br/tarefa/2442191 http://brainly.com.br/tarefa/2442103
Se não for te encomodar, claro. :)
claro... vou ver.
Obrigada
Respondido por
1
4x² + 12xy + 9y² - 100z²
quadrado perfeito quadrado
responde a
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(2x + 3y)² - 100z²
diferença de quadrados
responde a
a² - b² = (a + b)(a - b)
(2x + 3y)² = a² 100z² = b²
a = (2x + 3y) b = 10z (as raízes quadradas)
Então
[(2x + 3y) + 10z][(2x + 3y) - 10z]
(2x + 3y + 10z)(2x + 3y - 10z) EXPRESSÃO FINAL
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m = (2.x + 3.y + 10.z)
n = (2.x + 3.y - 10.z)
Obteríamos uma multiplicação m.n como resultado final da fatoração.
No caso do exemplo de fatoração que dei acima se fizéssemos:
m = 4.x(x + 3.y)
n = 3.y - 10.z
p = 3.y + 10.z
Obteríamos m + n.p.
Dessa forma você confere que m.n é bem mais simples e fatorado que m + n.p.