Question

Fatore a seguinte expressão:

$13 x^{2} - x^{6} - 12 = 0$

Answer 1

Na verdade, não queremos resolver a equação dada no enunciado, mas sim fatorar o polinômio que aparece no lado esquerdo:

P(x) = 13x² – x⁶ – 12

P(x) = – x⁶ + 13x² – 12


Temos aqui um polinômio de grau 6. Devemos pesquisar raízes.

Calculando P(1):

P(1) = – (1)⁶ + 13 · (1)² – 12

P(1) = – 1 + 13 – 12

P(1) = 0


Então, x = 1 é uma raiz para P(x). Portanto, podemos fatorá-lo por (x – 1). Observe:

P(x) = – x⁶ + 13x² – 12

P(x) = – x⁶ + x⁵ – x⁵ + 13x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁵ + 13x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁵ + x⁴ – x⁴ + 13x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x⁴ + x³ – x³ + 13x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x³(x – 1) – x³ + x² – x² + 13x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x³(x – 1) – x³ + x² + 12x² – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x³(x – 1) – x²(x – 1) + 12x² – 12x + 12x – 12

P(x) = – x⁵(x – 1) – x⁴(x – 1) – x³(x – 1) – x²(x – 1) + 12x(x – 1) + 12(x – 1)

P(x) = (x – 1) · (– x⁵ – x⁴ – x³ – x² + 12x + 12)

P(x) = (x – 1) · (–1) · (x⁵ + x⁴ + x³ + x² – 12x – 12)

P(x) = – (x – 1) · (x⁵ + x⁴ + x³ + x² – 12x – 12)

P(x) = – (x – 1) · Q(x)          (i)


sendo Q(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² – 12x – 12.

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Temos agora um polinômio de grau 5 para fatorar. Devemos pesquisar raízes novamente.

Calculando Q(– 1):

Q(– 1) = (– 1)⁵ + (– 1)⁴ + (–1)³ + (–1)² – 12 · (–1) – 12

Q(– 1) = – 1 + 1 – 1 + 1 + 12 – 12

Q(– 1) = 0


Então, x = – 1 é uma raiz para Q(x). Portanto, podemos fatorá-lo por (x + 1):

Q(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² – 12x – 12

Q(x) = x⁴(x + 1) + x²(x + 1) – 12(x + 1)

Q(x) = (x + 1) · (x⁴ + x² – 12)

Q(x) = (x + 1) · S(x)          (ii)


sendo S(x) = x⁴ + x² – 12.

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Podemos tentar fatorar S(x) por agrupamento, já que este é um polinômio biquadrático.

Em S(x), reescreva convenientemente x² como – 3x² + 4x². Depois, fatore por agrupamento:

S(x) = x⁴ – 3x² + 4x² – 12

S(x) = x²(x² – 3) + 4(x² – 3)

S(x) = (x² – 3) · (x² + 4)

S(x) = T(x) · U(x)          (iii)


sendo  T(x) = x² – 3  e  U(x) = x² + 4.

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T(x) é facilmente fatorado por agrupamento, ou usando produtos notáveis:

T(x) = x² – 3

T(x) = x² – (√3)²         (a diferença entre dois quadrados)

T(x) = x² – (√3)x + (√3)x – (√3)²

T(x) = x(x – √3) + (√3)(x – √3)

T(x) = (x + √3) · (x – √3)


Já U(x) é um polinômio do 2º grau irredutível, pois este possui apenas duas raízes complexas conjugadas (a saber – 2i  e  + 2i). Então, não é possível fatorar U(x) nos reais.

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Fazendo o caminho de volta, temos finalmente que

S(x) = T(x) · U(x)

S(x) = (x + √3) · (x – √3) · (x² + 4)


Q(x) = (x + 1) · S(x)

Q(x) = (x + 1) · (x + √3) · (x – √3) · (x² + 4)


P(x) = – (x – 1) · Q(x)

P(x) = – (x – 1) · (x + 1) · (x + √3) · (x – √3) · (x² + 4)


∴   13x² – x⁶ – 12 = – (x – 1) · (x + 1) · (x + √3) · (x – √3) · (x² + 4)

     (esta é a resposta)


Bons estudos! :-)


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