Question

Fatore a expressão x^4 - 7x^2 + 1 (use coeficientes reais)

Answer 1

Vamos lá:

x^4 - 7x^2 + 1

Tirando o termo comum:

$x^2.(x^2-7+\frac{1}{x^2})$

Rearranjando os termos:

$x^2.(x^2+\frac{1}{x^2}-7)$

Agora observe que podemos descrever

$x^2 + \frac{1}{x^2}$ como $(x + \frac{1}{x})^2 - 2$

Sendo assim, vamos substituir na expressão que tínhamos

$x^2.((x + \frac{1}{x})^2-2-7)$

$x}2.((x + \frac{1}{x})^2-9)$

Entretanto temos um pequeno problema agora:

x² - y² = (x + y).(x - y)

E olha só o que temos

$(x + \frac{1}{x})^2-3^2$

Ou seja,

$(x + \frac{1}{x})^2-3^2 = (x + \frac{1}{x} + 3).(x + \frac{1}{x} - 3)$

Ficamos então com:

$x^2.(x + \frac{1}{x}+3).(x+\frac{1}{x}-3)$

Prova real:

Podemos efetuar a multiplicação entre

$(x + \frac{1}{x}+3).(x+\frac{1}{x}-3)$

Veja:

$(x.x + x.\frac{1}{x} - x.3) + (\frac{1}{x}.x + (\frac{1}{x})^2 - \frac{1}{x}.3) + (3.x + 3.\frac{1}{x} - 3.3)$

$(x^2 + 1 - 3x) + (1 + \frac{1}{x^2} - \frac{3}{x}) + (3x + \frac{3}{x} - 9)$

Cancelando os termos opostos temos:

$x^2+\frac{1}{x^2}-7$

Agora voltamos a expressão anterior

$x^2.(x^2 + \frac{1}{x^2}-7)$

$x^4-7x^2+1$