Question

fatore a expressão trinômio quadrado perfeito 4+ 12× 9×2 ?

Answer 1

Temos que o quadrado da soma de dois termos gera um trinômio quadrado perfeito. Veja,

(a + b)² = a² + 2.a.b + b². Mas para escrevermos a² + 2.a.b + b² na forma fatorada é preciso encontrarmos primeiro suas raízes. Supondo serem suas raízes m e n respectivamente, então a² + 2.a.b + b² = a(x - m)(x-n)

Sendo assim, vamos calcular as raízes reais de 4 + 12x + 9x². Para tal vamos igualar esse trinômio a zero, ou seja, 4 + 12x + 9x² = 0, onde

a = 9, b = 12 e c = 4

Δ = b² - 4.a.c

Δ = 12² - 4.9.4

Δ = 144 - 144

Δ = 0

Como Δ = 0, então a equação terá duas raízes iguais. Assim temos que

x' = x" = x = (-b + ou - √Δ)/2.a

x = (-12 + ou - 0)/2.9

x = -12/18 → x = -2/3. Encontrada as raízes, vamos colocar o trinômio acima na forma fatorada.

4 + 12x + 9x² = 9x² + 12x + 4 = a(x - m)(x - n), sendo a = 9, m = -2/3 e n = -2/3. Logo

9x² + 12x + 4 = 9(x + 2/3)(x + 2/3)

9x² + 12x + 4 9(x + 2/3)².

Também podemos escrever 9x² + 12x + 4 como um produto de dois fatores, basta lembrar que (a + b)² = (a + b).(a + b). Como (a + b)² = a² + 2.a.b + b², e fazendo a² + 2.a.b + b² a = 9x² + 12x + 4, temos que

a² = 9x² → a = √9x² → a = 3x

2.a.b = 12x → a.b = 6x

b² = 4 → b = √4 → b = 2. Temos a = 3x e b = 2, logo

9x² + 12x + 4 = (3x + 2)² = (3x + 2).(3x + 2).