Question

Fatore a expressão passo a passo: (a+1)*(a+3)*(a+5)*(a+7)+15

Resposta:(a+2).(a+6).(a^2+8a+10)

Answer 1

(a+1)*(a+3)*(a+5)*(a+7)+15
(a²+4a+3) (a²+12a+35)+15

a^4+12a³+35a²+4a³+48a²+140a+3a²+36a+105+15

a^4+16a^3+86a²+176a+120

Suponha:

a^4+16a^3+86a²+176a+120=0

Há um teorema que diz que se k ∈ Z for raiz de um polinômio,então k divide o termo independente do mesmo.Ou seja,se existir uma raiz k inteira do polinômio em questão,logo k deve ser um dos divisores de 120,tantos positivos quanto negativos.De fato,vemos que -2 é raiz (verifique a veracidade disso substituindo a por -2).Assim,o polinômio é divisível por (a+2).
Ao fazer a divisão entre a^4+16a^3+86a²+176a+120 por a+2,encontramos que a^4+16a^3+86a²+176a+120=(a+2)(a^3+14a²+58a+60)

Agora,precisamos fatorar :

a^3+14a²+58a+60=0

Utilizando do teorema mais uma vez,tem-se que -6 é raiz e (a+6)*(a^2+8a+10)=a^3+14a²+58a+60

Portanto:

(a+1)*(a+3)*(a+5)*(a+7)+15= a^4+16a^3+86a²+176a+120=(a+2)(a+6)*(a^2+8a+10)