Question

Fatore:

a) ab/8+a²b/4-ab²/2
b) ax-2ay+5bx-10by+11cx-22cy
c) (x+y)²-1
d) x² - (y+1)²
e) m⁸-n⁸
f) ax²-a+bx²-b

Answer 1

Nesta tarefa, usaremos basicamente duas formas de fatoração combinadas.

•    Fatoração por agrupamento;

•    Diferença entre quadrados (produtos notáveis)

_______

a) $\dfrac{ab}{8}+\dfrac{a^2 b}{4}-\dfrac{ab^2}{2}$

Reduzindo os termos ao mesmo denominador comum:

$=\dfrac{ab}{8}+\dfrac{2a^2 b}{8}-\dfrac{4ab^2}{8}$


Agora, colocamos o máximo fator comum em evidência:

$=\dfrac{ab}{8}\cdot 1+\dfrac{ab}{8}\cdot 2a+\dfrac{ab}{8}\cdot (-4b)\\\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}\dfrac{ab}{8}\cdot (1+2a-4b) \end{array}}$

________

b) $ax-2ay+5bx-10by+11cx-22cy$

Fatoramos por agrupamento, colocando o máximo fator comum em evidência:
 
$=a\cdot x-a\cdot 2y+5b\cdot x-5b\cdot 2y+11c\cdot x-11c\cdot 2y\\\\ =a\cdot (x-2y)+5b\cdot (x-2y)+11c\cdot (x-2y)$


Agora, colocamos o fator comum $(x-2y)$ em evidência:

$=\boxed{\begin{array}{c}(x-2y)\cdot (a+5b+11c) \end{array}}$

________

c) $(x+y)^2-1$

$=(x+y)^2-1^2$

Temos uma diferença entre quadrados. Usamos produtos notáveis: a diferença entre quadrados é o produto da diferença pela soma.

$=[(x+y)-1]\cdot [(x+y)+1]\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}(x+y-1)\cdot(x+y+1)\end{array}}$

________

d) $x^2-(y+1)^2$

Diferença entre quadrados:

$=[x-(y+1)]\cdot [x+(y+1)]\\\\ =\boxed{\begin{array}{c}(x-y-1)\cdot (x+y+1) \end{array}}$

________

e) $m^8-n^8$

$=m^{4\,\cdot\,2}-n^{4\,\cdot\,2}\\\\ =(m^4)^2-(n^4)^2$

Diferença entre quadrados:

$=(m^4-n^4)\cdot (m^4+n^4)\\\\ =(m^{2\,\cdot\,2}-n^{2\,\cdot\,2})\cdot (m^4+n^4)\\\\ =[(m^2)^2-(n^2)^2]\cdot (m^4+n^4)$


Diferença entre quadrados novamente:

$=(m^2-n^2)\cdot (m^2+n^2)\cdot (m^4+n^4)$


Mais uma diferença entre quadrados para finalizar:

$=\boxed{\begin{array}{c} (m-n)\cdot (m+n)\cdot (m^2+n^2)\cdot(m^4+n^4)\end{array}}$

________

f) $ax^2-a+bx^2-b$

$=a\cdot x^2-a\cdot 1+b\cdot x^2-b\cdot 1\\\\ =a\cdot (x^2-1)+b\cdot (x^2-1)\\\\ =(x^2-1)\cdot (a+b)\\\\ =(x^2-1^2)\cdot (a+b)$


Diferença entre quadrados:

$=\boxed{\begin{array}{c}(x-1)\cdot (x+1)\cdot (a+b) \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

Vamos lá.

Tem-se as seguintes expressões que vamos chamar, cada uma, de um certo "E", apenas para deixá-las igualadas a alguma coisa.
Pede-se para fatorar: 

a)

E = ab/8+a²b/4-ab²/2 ------ mmc entre 2, 4 e 8 = 8. Assim, utilizando-o, temos:

E = (1*ab + 2*a²b - 4*ab²)/8
E = (ab + 2a²b - 4ab²)/8 ---- vamos pôr "ab" em evidência, ficando:
E = ab*(1 + 2a - 4b)/8 ---- note : o que está dentro dos parênteses poderá ser reescrito assim, pois a ordem das parcelas não altera a soma ou subtração:

E = ab*(2a - 4b + 1)/8  <--- Esta poderá ser a forma fatorada da questão "a".

b)

E = ax-2ay+5bx-10by+11cx-22cy ----- vamos ordenar, ficando assim:

E = ax + 5bx + 11cx - 2ay - 10by - 22cy ---- veja que poderemos reescrever isto da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

E = ax + 5bx + 11cx - (2ay + 10by + 22cy)

Agora note: em "ax + 5bx + 11cx" poderemos colocar "x" em evidência; e em "2ay+10by+22cy" poderemos pôr "2y" em evidência, com o que ficaremos assim:

E = x*(a + 5b + 11c) - 2y*(a + 5b + 11c)

Veja que agora poderemos pôr (a+5b+11c) em evidência, com o que ficaremos assim:

E = (a+5b+11c)*(x - 2y) <--- Esta é a forma fatorada da questão "b".

c)

E = (x+y)²-1 ------ veja que o "1" poderá ser substituído por "1²", pois 1² = 1. Então:

E = (x+y)² - 1² ----- note: diferença entre dois quadrados, o que poderá ser reescrito assim:

E = [(x+y)-1]*[(x+y)+1] --- ou, o que é a mesma coisa:
E = (x+y-1)*(x+y+1) <--- Esta é a forma fatorada da questão "c".

d)

E = x² - (y+1)² ----- temos novamente a diferença entre dois quadrados. Logo:

E = [x+(y+1)]*[(x-(y+1)] ---- retirando-se os parênteses, teremos;
E = [x+y+1]*[(x-y-1] --- ou apenas:
E = (x+y+1)*(x-y-1) <--- Esta é a resposta para a questão "d".

e)

E = m⁸ - n⁸ ----- note que isto poderá ser reescrito assim:
E = (m⁴)² - (n⁴)² ----- diferença entre dois quadrados, ficando:
E = (m⁴+n⁴)*(m⁴-n⁴) ----- veja que m⁴-n⁴ poderá ser reescrito assim:
E = (m⁴+n⁴)*[(m²)²-(n²)²] ---- note que em "(m²)² - (n²)²" temos novamente diferença entre dois quadrados. E assim, de tanto haver essas diferenças entre dois quadrados, no fim, ficaremos assim:

E = (m-n)*(m+n)*(n²+n²)*(m⁴+n⁴) <--- Esta é a fatoração para a questão "e".

f)

E = ax²-a+bx²-b ---- vamos ordenar, ficando:
E = ax² + bx² - a - b ----- veja que "-a-b", poderemos reescrever assim, o que é a mesma coisa:

E = ax² + bx² - (a + b) ---- agora note que em "ax²+bx²" poderemos colocar "x²" em evidência, ficando assim:

E = x²*(a + b) - (a + b) ---- agora poremos (a+b) em evidência, ficando:
E = (a+b)*(x²-1) <--- Note que "x²-1" é uma diferença entre dois quadrados. É como se fosse: "x²-1²". Então iremos ficar com:

E = (a+b)*(x+1)*(x-1) <---- Esta é a forma fatorada totalmente da questão "f".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.