Question

fatorar:
o) x²y² -1

q) x² + 6x +9

r) x² - 10x + 25

s) 25x² + 20X + 1

T) 9X² + 10x + 4

Answer 1

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Lembremos dessas fatorações muito comuns (produtos notáveis):

•   A diferença entre dois quadrados é igual ao produto da soma pela diferença:

    p² – q² = (p + q) · (p – q)          ✔


•   Polinômio do 2º grau (soma e produto)

    x² + (p + q)x + pq = (x + p) · (x + q)          ✔

resultado obtido simplesmente via fatoração por agrupamento.


•   Polinômio do 2º grau na forma geral (fatoração por agrupamento):

Procure dois números  p,  q  de modo que

     •   p + q = b;

     •   p · q = a · c.


Então, será possível reescrever o polinômio da seguinte forma

    ax² + bx + c

                                      p · q
    = ax² + (p + q)x  +  ————
                                        a

                                     q
    = ax² + px + qx  +  ——  ·  p
                                     a

                               q
    = x · (ax + p) +  ——  ·  (ax + p)
                               a

     $\mathsf{=(ax+p)\cdot \bigg(x+\dfrac{q}{a}\bigg)}$         ✔


De forma análoga, poderíamos ter chegado a esta outra forma:

     $\mathsf{=(ax+q)\cdot \bigg(x+\dfrac{p}{a}\bigg)}$          ✔


•   Polinômio do 2º grau na forma geral  (fórmula resolutiva de Báscara):

Dado o polinômio  ax² + bx + c,  encontramos as suas raízes usando a fórmula resolutiva:

                   – b – √(b² – 4ac)                       – b + √(b² – 4ac)
     •   r₁  =  ——————————    e    r₂  =  ——————————
                               2a                                              2a


A forma fatorada do polinômio será

     = a · (x – r₁) · (x – r₂)          ✔

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o)  x²y² – 1

     = (xy)² – 1²


Aqui temos uma diferença entre quadrados. A forma fatorada é

     = (xy + 1) · (xy – 1)          ✔

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q)  x² + 6x + 9

Procuramos dois números cuja soma seja  6  e cujo produto seja  9.  Se procurarmos no conjunto dos divisores de  9,

     D(9) = {1, 3, 9}


verificamos que se tomarmos o número  3  duas vezes,

     •   3 + 3 = 6;

     •   3 · 3 = 9.


Então, reescreva  6x  como  3x + 3x  e  9  como 3 · 3:

     = x² + 3x + 3x + 3 · 3

Fatorando por agrupamento,

     = x · (x + 3) + 3 · (x + 3)

     = (x + 3) · (x + 3)

     = (x + 3)²          ✔

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r)  x² – 10x + 25

Procurando dois números cuja soma é  – 10  e cujo produto é  25:

     •   (– 5) + (– 5) = – 10;

     •   (– 5) · (– 5) = 25.


Então, reescreva  – 10x  como  – 5x – 5x,  e  25  como  (– 5) · (– 5):

     = x² – 5x – 5x + (– 5) · (– 5)


Fatorando por agrupamento,

     = x · (x – 5) – 5 · (x – 5)

     = (x – 5) · (x – 5)

     = (x – 5)²          ✔

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s)   25x² + 20x + 1    ———>    a = 25,  b = 20,  c = 1.

Usando a fórmula resolutiva:

     Δ = b² – 4ac

     Δ = 20² – 4 · 25 · 1

     Δ = 400 – 100

     Δ = 300

     Δ = 10² ·  3


                – b – √Δ
     r₁  =  ——————
                     2a

               – 20 – √(10² · 3)
     r₁  =  ——————————
                        2 · 25

               – 20 – 10√3
     r₁  =  ————————
                       50

               10 · (– 2 – √3)
     r₁  =  ————————
                      10 · 5

               – 2 – √3
     r₁  =  ——————
                      5


De forma análoga, chegamos à outra raiz:

                – 2 + √3
     r₂  =  ——————
                      5


Portanto, a forma fatorada será

     $\mathsf{=a\cdot (x-r_1)\cdot (x-r_2)}\\\\ \mathsf{=25\cdot \bigg(x-\dfrac{-2-\sqrt{3}}{5}\bigg)\cdot \bigg(x-\dfrac{-2+\sqrt{3}}{5}\bigg)}\\\\\\ \mathsf{=5^2\cdot \bigg(x+\dfrac{2+\sqrt{3}}{5}\bigg)\cdot \bigg(x+\dfrac{2-\sqrt{3}}{5}\bigg)}\\\\\\ \mathsf{=5\bigg(x+\dfrac{2+\sqrt{3}}{5}\bigg)\cdot 5\bigg(x+\dfrac{2-\sqrt{3}}{5}\bigg)}$

     $\mathsf{=\big(5x+2+\sqrt{3}\big)\cdot \big(5x+2-\sqrt{3}\big)}$          ✔

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t)  9x² + 10x + 4   ———>   a = 9,  b = 10,  c = 4.

Usando a fórmula resolutiva

     Δ = b² – 4ac

     Δ = 10² – 4 · 9 · 4

     Δ = 100 – 144

     Δ = – 44 < 0


Como o discriminante  Δ  é negativo,  o polinômio do 2º grau é irredutível. Logo, ele já está na forma fatorada:

     9x² + 10x + 4          ✔


Bons estudos! :-)