Question

Fatorando o polinômio P(x) ≡ 2x² − 7x + 3 como o produto de uma constante por polinômios de primeiro grau, teremos: 1 ponto a) P(x) = 2.(x – 2) . (x + 3) b) P(x) = 2.(x – 3).(x – ½ ) c) P(x) = (x + 2) . (x – ½ ) d) P(x) = (x – 1) . (x + 5)

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{b)~P(x)=2\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\cdot(x-3)}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos encontrar a forma fatorada do polinômio $P(x)=2x^2-7x+3$. Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Dado um polinômio de grau 2: $P(x)=ax^2+bx+c$, tal que $a\neq0$, com raízes $x_1$ e $x_2$, sua forma fatorada é dada por:

$a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)$

Então, devemos encontrar as raízes do polinômio. Para isso, fazemos $P(x)=0$.

$2x^2-7x+3=0$

Utilizando os coeficientes de $P(x)$, podemos encontrar suas raízes, a partir da fórmula resolutiva: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}$

Substituindo os coeficientes, teremos:

$x=\dfrac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3}}{2\cdot 2}$

Calcule a potência e multiplique os valores

$x=\dfrac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}$

Some os valores

$x=\dfrac{7\pm\sqrt{25}}{4}$

Sabendo que $25=5^2$, temos

$x=\dfrac{7\pm5}{4}$

Separe os soluções

$x_1=\dfrac{7-5}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x_2=\dfrac{7+5}{4}$

Some os valores

$x_1=\dfrac{2}{4}~~~\mathtt{ou}~~~x_2=\dfrac{12}{4}$

Simplifique as frações

$x_1=\dfrac{1}{2}~~~\mathtt{ou}~~~x_2=3$

Então, de acordo com o que foi discutido acima, a forma fatorada dete polinômio é:

$P(x)=2\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\cdot(x-3)$

Esta é a resposta contida na letra b).