Question

Fatoração
$\frac{ a^{2} b^{2} }{4} - \frac{ a^{2} b^{4} }{2}$
Coloque passo a passo como foi feito.
resposta: $( \frac{ a^{2} b^{2} }{2}) . (\frac{1}{ \sqrt{2} }-b) . (\frac{1}{ \sqrt{2} }+b)$

Answer 1

$\frac{a^{2}b^{2}}{4}-\frac{a^{2}b^{4}}{2}=\frac{a^{2}b^{2}}{4}-\frac{2a^{2}b^{4}}{4}$

$\frac{a^{2}b^{2}}{4}-\frac{2a^{2}b^{4}}{4}=\frac{a^{2}b^{2}-2a^{2}b^{4}}{4}$

Colocando a²b² em evidência:

$\frac{a^{2}b^{2}-2a^{2}b^{4}}{4}=\frac{a^{2}b^{2}(1-2b^{2})}{4}$
______________________

Agora, trabalharemos no parenteses (1 - 2b²). Precisamos transformá-lo num resultado de um produto da soma pela diferença de 2 termos, que é um produto notável.

Veja que 1 = 1²

2b² = (√2)²b² = (b√2)²

$(1-2b^{2})=(1^{2}-[b\sqrt{2}]^{2})$

Sabe-se que $a^{2}-b^{2}\rightleftharpoons (a+b)(a-b)$

$(1^{2}-[b\sqrt{2}]^{2})=(1+b\sqrt{2})(1-b\sqrt{2})$
______________________

$\frac{a^{2}b^{2}(1-2b^{2})}{4}=\frac{a^{2}b^{2}(1+b\sqrt{2})(1-b\sqrt{2})}{4}\\\\\frac{a^{2}b^{2}(1+b\sqrt{2})(1-b\sqrt{2})}{4}=\frac{a^{2}b^{2}}{2}*\frac{(1+b\sqrt{2})(1-b\sqrt{2})}{2}$

Colocando √2 em evidência em (1 + b√2):

$\frac{a^{2}b^{2}}{2}*\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+b)(1-b\sqrt{2})}{2}$

Colocando √2 em evidência em (1 - b√2):

$\frac{a^{2}b^{2}}{2}*\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+b)\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}-b)}{2}\\\\ \frac{a^{2}b^{2}}{2}*\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+b)(\frac{1}{\sqrt{2}}-b)}{2}\\\\ \frac{a^{2}b^{2}}{2}*\frac{2(\frac{1}{\sqrt{2}}+b)(\frac{1}{\sqrt{2}}-b)}{2}\\\\\ \boxed{\boxed{\frac{a^{2}b^{2}}{2}*(\frac{1}{\sqrt{2}}+b)(\frac{1}{\sqrt{2}}-b)}}$