Question

Fatoração/produtos notáveis
Simplifique a expressão: a^4+a^2+1 / a^2+a+1

passo a passo, por favor

Answer 1

Olá Heage!

Tome $\mathrm{a^2 + 1 = x}$. Assim, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{a^4 + a^2 + 1}{a^2 + a + 1} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{a^4 + x}{x + a} =} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(i)}$

 Bom! Como consideramos $\mathrm{a^2 + 1 = x}$, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{a^2 + 1 = x} \\ \mathsf{a^2 = x - 1} \\ \boxed{\mathsf{a = \sqrt{x - 1}}} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(ii)}$

 Inclusive,

$\\ \displaystyle \mathsf{a^2 + 1 = x} \\ \mathsf{a^2 = x - 1} \\ \mathsf{(a^2)^2 = (x - 1)^2} \\ \boxed{\mathsf{a^4 = x^2 - 2x + 1}} \qquad \qquad \qquad \mathsf{(iii)}$

 Substituindo (ii) e (iii) em (i),

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{a^4 + x}{x + a} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(x^2 - 2x + 1) + x}{x + \sqrt{x - 1}} =}$

 Racionalizando o denominador,

$\\ \displaystyle \mathsf{\frac{(x^2 - 2x + 1) + x}{x + \sqrt{x - 1}} \cdot \frac{(x - \sqrt{x - 1})}{x - \sqrt{(x - 1)}}=} \\\\\\ \mathsf{\frac{(x^2 - x + 1) \cdot (x - \sqrt{x - 1})}{x^2 - (x - 1)} =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(x^2 - x + 1) \cdot (x - \sqrt{x - 1})}{x^2 - x + 1} =} \\\\\\ \mathsf{x - \sqrt{x - 1} =} \\\\ \mathsf{(a^2 + 1) - a =} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{a^2 - a + 1}}}$

Answer 2

Explicação

(a⁴ + a² + 1) = Separe (a⁴ + 1) e transforme em (a² + 1)² e troque a² de sinal.
Então: (a⁴ + a² + 1) = (a² + 1)² - a²

Considere (a² + 1) como a e (a) como b. Então, há uma diferença de dois quadrados. (a² - b²) = (a + b)(a - b). Substitua a por (a² + 1) e b por (a).

Assim: (a² - b²) -> ((a² + 1)² - a²)

Substituindo: (a² + 1 + a)(a² + 1 - a)
Colocando em ordem: (a² + a + 1)(a² - a + 1)

Cálculo

a⁴ + a² + 1
________
a² + a + 1


(a² + a + 1)(a² - a + 1)
_______________ -> Corta os iguais.
a² + a + 1

a² - a + 1

Resposta: a² - a + 1