Question

Fatoração -> $a^{10}+a^{5}+1$ é igual a :


R:$(a^{2}+a+1) (a^{8}-a^{7}+a^{5}-a^{4}+a^{3}-a+1)$


Me ajudem por favor a chegar nessa resposta,não estou conseguindo desenvolver.Obrigado!!

Answer 1

Temos que fatorar o polinômio a¹⁰ + a⁵ + 1.

Perceba que podemos dizer que o polinômio acima é o mesmo que:

a¹⁰ + a⁹ - a⁹ + a⁸ - a⁸ + a⁷ - a⁷ + a⁶ - a⁶ + a⁵ + a⁵ - a⁵ + a⁴ - a⁴ + a³ - a³ + a² - a² + a - a + 1

que é o mesmo que dizer:

a¹⁰ + a⁹ + a⁸ - a⁹ - a⁸ - a⁷ + a⁷ + a⁶ + a⁵ - a⁶ - a⁵ - a⁴ + a⁵ + a⁴ + a³ - a³ - a² - a + a² + a + 1.

Além disso, observe que podemos reescrever a equação acima de outra maneira:

a⁸.a² + a⁸.a + a⁸ - a⁷.a² - a⁷.a - a⁷ + a⁵.a² + a⁵.a + a⁵ - a⁴.a² - a⁴.a - a⁴ + a³.a² + a³.a + a³ - a.a² - a.a - a + a² + a + 1.

Perceba que em cada fator temos a², a e 1 multiplicando. Sendo assim, podemos colocar a² + a + 1 em evidência.

Portanto, podemos concluir que:

a¹⁰ + a⁵ + 1 = (a² + a + 1)(a⁸ - a⁷ + a⁵ - a⁴ + a³ - a + 1).