Question

(Fatoração)

A simplificação disto:

(x^2-2x)^2(x^2-1)/(x-2)(x^3-x^2)

alternativas:

a)x^2-x-2
b)x^2+3x+2
c)x^3-2x^2-x+2
d)x-1
e)x-1/x

Por favor explique passo a passo.

Answer 1

Queremos simplificar:
$\dfrac{(x^2-2x)^2(x^2-1)}{(x-2)(x^3-x^2)}$

Vou fatorizar separadamente o numerador e o denominador. Para tal, recorde o caso notável diferença de quadrados: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

Assim, aplicando o referido acima e pondo $x$ em evidência, o numerador fica:
$(x^2 - 2x)^2(x^2 - 1) = [x(x-2)]^2(x-1)(x+1) = x^2(x-2)^2(x-1)(x+1)$

Pondo $x^2$ em evidência, o denominador fica:
$(x-2)(x^3-x^2) = (x-2)x^2(x-1)$

Assim, a fração fica:
$\dfrac{x^2(x-2)^2(x-1)(x+1)}{ x^2(x-2)(x-1)}$

Agora, podemos cortar termos comuns, mas a simplificação só é válida para $x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2\}$, pois não podemos fazer divisões por zero. Assim, obtemos:
$(x-2)(x+1)\textrm{ para } x\in\mathbb{R}\setminus\{0,1,2\}$

O gráfico corresponde a uma parábola com a concavidade voltada para cima e zeros em $x=2$ e $x=-1$, mas com «buracos» nos pontos referidos acima. Finalmente: $(x-2)(x+1)=x^2-x-2 \implies \textrm{ op\c{c}\~{a}o a)}$