Question

(FATEC)Sejam 3x-4y+10=0 e 6x-8y+15=0 as equações das retas suportes das bases de um trapézio. Determine a altura desse trapézio.

Answer 1

Após ter os calculados os dados, concluímos que o resultado da altura desse trapézio é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{h = \dfrac{1}{2} } }$

A distância $\boldsymbol{ \textstyle \sf d }$ entre um ponto $\boldsymbol{ \textstyle \sf P\: (\: x_0, y_0\:) }$ e uma reta $\boldsymbol{ \textstyle \sf r: ax +by + c = 0 }$ é dada por:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf d = \dfrac{| ax_P + by_P + c |}{ \sqrt{a^2 + b^2} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf r: 3x - 4y + 10 = 0 \\\sf s: 6x - 8y + 15 = 0 \\\sf h = d =\:? \end{cases} } }$

É preciso escolher um ponto arbitrário de uma das retas e calcular a distância desse ponto à outra reta.

Escolherei um ponto em r:

$\Large \displaystyle \mathsf{x = 0 }$, temos:

$\Large \displaystyle \mathsf{ 3 \cdot 0 -4y + 10 = 0 }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ 0 -4y = -10 }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-10}{- 4} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{5}{ 2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf P\: \left(\: 0, \dfrac{5}{2} \: \right) \in r }$

Calculamos a altura do trapézio de Ponto P  a reta s:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{| ax_P + by_P + c |}{ \sqrt{a^2 + b^2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{| 6 \cdot 0 - \diagup\!\!\!{ 8}\:^4 \cdot \dfrac{5}{ \diagup\!\!\!{2}\: ^1} + 15|}{ \sqrt{6^2 + (-8)^2} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{| 0 - 20 + 15|}{ \sqrt{36+ 64} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{|- 5|}{ \sqrt{100} } } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{5}{10} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h = \dfrac{1}{2} }$

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