. (Fatec) Os restos da divisão de um polinômio p
por (x-1) e por (x+2) são respectivamente, 1 e -23. O
resto da divisão de p por (x-1)(x+2) é
a) - 23
b) - 22x
c) x - 2
d) 3x + 1
e) 8x - 7
Soluções para a tarefa
Resposta:
e
Explicação passo-a-passo:
p(x) é o polinômio procurado.
Aplicando D'alembert temos que p(1) = 1 e p(-2) =-23
p(x) = q(x).(x-1) + ax+b. Logo p(1) = a+b = 1
p(x) = q(x).(x+2) + ax+b. Logo p(-2) = -2a+b = -23
temos que resolver esse sistema
{a+b=1
{-2a+b = -23
b= 1-a
-2a+1-a = -23
-3a = -24
a = 8
b = -7
r(x) = 8x - 7
O resto da divisão de P por (x-1)(x+2) é 8x - 7, alternativa E.
Divisão de polinômios
Na divisão de polinômios, podemos dizer que o dividendo é igual a soma entre o resto e o produto entre o quociente e o divisor:
P(x) = Q(x)·S(x) + R(x)
Pelo teorema de D'Alembert, podemos dizer que o resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) será dada por P(a). Desta forma, temos que:
P(1) = 1
P(-2) = -23
O resto da divisão de P por (x - 1)(x + 2) terá grau 1 (pois o divisor tem grau 2), então, o resto será da forma R(x) = ax + b:
P(x) = Q(x)·(x - 1)·(x + 2) + R(x)
Note que P(1) = R(1) e P(-2) = R(-2), então:
a·1 + b = 1
a·(-2) + b = -23
Subtraindo as equações:
-2a - a = -23 - 1
-3a = -24
a = 8
b = -7
R(x) = 8x - 7
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