(Fatec) O gráfico de uma função f, do segundo
grau, corta o eixo das abcissas para x=1 e x=5. O
ponto de máximo de f coincide com o ponto de
mínimo da função g, de IR em IR, definida por
g(x)=(2/9)x²-(4/3)x+6. A função f pode ser definida por
a) y = - x² + 6x + 5
b) y = - x² - 6x + 5
c) y = - x² - 6x - 5
d) y = - x² + 6x - 5
e) y = x²- 6x + 5
Soluções para a tarefa
Para determinar a função f(x), com fórmula geral y = ax² + bx +c, precisamos de três pontos dessa função. Inicialmente, já temos dois, onde a função corta o eixo x, ou seja, y=0. São eles: P (1, 0) e P (5, 0).
Para determinar o terceiro ponto, temos que calcular o mínimo da função g(x). Então, vamos utilizar as seguintes equações para determinar esse ponto:
Xmín = - b ÷ 2a = - (-4/3) ÷ 2 × (2/9)
Xmín = 3
Ymín = - Δ ÷ 4a = - [(-4/3)² - 4 × (2/9) × 6] ÷ 4 × (2/9)
Ymín = 4
Portanto, o ponto de mínimo da função g(x) e o terceiro ponto de f(x) é: P (3, 4).
Por fim, podemos substituir os pontos na equação geral e determinar os valores de a, b e c:
P (1,0): 0 = a × 1² + b × 1 + c
a + b + c = 0
P (5,0): 0 = a × 5² + b × 5 + c
25a + 5b + c = 0
P (3,4): 4 = a × 3² + b × 3 + c
9a + 3b + c = 4
Com as três equações, determinamos os valores:
a = -1
b = 6
c = -5
Portanto, a equação é: y = -x² + 6x - 5
Alternativa correta: D.