Question

Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.$\int\limits{\frac{\sqrt[2]{x+1} }{x} } \, dx$

Answer 1

Para calcularmos a integral dada utilizamos duas técnicas de integração: substituição e frações parciais. Vamos lembrar o método geral de cada técnica para enfim aplicá-las.

Substituição

A técnica de substituição consiste em aplicarmos um mudança de variável

$\phi: x \rightarrow u$

para gerar uma nova integral, integrando em u.

$\displaystyle\int f(x) \, dx = \int f(\phi(u))\cdot \phi'(u)\, du$

Este método pode ser provado pelo teorema fundamental do cálculo, se F(x) é a primitiva de f(x), então

$\dfrac{dF(x)}{dx} = f(x)$

Como  $x = \phi(u)$

$\dfrac{dF(x)}{dx} = \dfrac{dF(\phi(u))}{dx}$

Pela regra da cadeira,

$f(x) = \dfrac{dF(\phi(u))}{d\phi}\cdot\dfrac{d\phi(u)}{du}$

$f(x) = f(\phi(u))\cdot \phi'(u)$

$\therefore \displaystyle\int f(x) \, dx = \int f(\phi(u))\cdot \phi'(u)\, du$

Frações Parciais

A última técnica que deveremos usar é a de frações parciais, utilizada para calcular integral de funções racionais. Sejam p(x) e q(x) polinômios de forma que o grau de p seja menor ou igual que o de q. A técnica de frações parciais calcula a integral dada por

$\displaystyle\int\dfrac{p(x)}{q(x)}\, dx$

Se q(x) possui n raízes, podemos representá-lo como

$q(x) = (x-x_1)\cdots (x-x_n)$

$\dfrac{p(x)}{q(x)} = \dfrac{p(x)}{(x-x_1)\dots(x-x_n)}$

Podemos separar cada raiz num termo separado, de forma que

$\dfrac{p(x)}{(x-x_1)\dots(x-x_n)} = \dfrac{a_1}{x-x_1}+\dots+\dfrac{a_n}{x-x_n}+a_{n+1}$

Para calcularmos cada coeficiente colocamos todos os termos da direita sob a mesma base e obtemos um polinômio de, no máximo, grau n, gerando um sistema linear. Resolvendo o sistema, obteremos a integral

$\displaystyle\int\dfrac{p(x)}{q(x)} \, dx=\int \dfrac{a_1}{x-x_1}+\dots+\dfrac{a_n}{x-x_n}+a_{n+1}\, dx$

que é facilmente calculável.

Exercício

Para que nossa função a ser integrada seja uma função parcial temos de transformar o numerador num polinômio. Vamos facilitar nosso trabalho e transformá-lo no polinômio mais simples,

$\sqrt{x+1} = u$

$\iff x=u^2-1 = \phi(u)$

$\phi'(u) = 2u$

Utilizando esta mudança de variável obtemos

$\displaystyle \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x}\, dx = \int \dfrac{u}{u^2-1}\cdot 2u\, du$

Perceba que a função da direita é extremamente mais simples de se calcular, e pode ser obtida utilizando frações parciais, já que o denominador pode ser escrito como

$u^2-1 = (u-1)(u+1)$

$\dfrac{2u^2}{u^2-1} = \dfrac{a_1}{u-1}+\dfrac{a_2}{u+1}+a_3$

$\dfrac{2u^2}{u^2-1} = \dfrac{a_1(u+1)}{u^2-1}+\dfrac{a_2(u-1)}{u^2-1}+\dfrac{a_3(u^2-1)}{u^2-1}$

$u = a_1(u+1)+a_2(u-1)+a_3(u^2-1) \\ .\,\, = (a_1-a_2-a_3)+(a_1+a_2)\cdot u+a_3\cdot u^2$

$\left\{\begin{array}{c}a_3 = 2\\a_1+a_2 = 0\\a_1-a_2-a_3 = 0\end{array}\right.$

Resolvendo, obtemos

$a_1 = 1, \hspace{0.3cm} a_2 = -1, \hspace{0.3cm} a_3 = 2$

portanto,

$\displaystyle\int\dfrac{2u^2}{u^2-1}\,du = \int\dfrac{1}{(u-1)}-\dfrac{1}{(u+1)}+2\, du$

$\displaystyle\int\dfrac{2u^2}{u^2-1}\, du = \ln(u-1)-\ln(u+1)+2u+C$

$.\hspace{1.9cm}=2u+\ln\left(\dfrac{u-1}{u+1}\right)+C$

Retornando para nossa variável x, obteremos

$\displaystyle\boxed{\int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x}\, dx = 2\sqrt{x+1}+\ln\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\right)+C}$