Question

Faça uma demonstração por contradição (argumentando de maneira similar à demonstração de que √2 é irracional) de:
Se p e q são inteiros positivos distintos e pelo menos um dos números √p e √q é irracional,então √p +√q é também irracional.

Answer 1

Se √p ou √q é irracional, qualquer operação envolvendo essas raizes resulta em um número irracional. Podemos associar uma dessas raizes a raiz de um número primo, por exemplo:

√3 + √q se torna irracional independente do valor da raiz de q.

Demonstrando:

Se p = 1 e q = 2 , então:

1 + √2  =  a / b

(1 + √2)² = (a/b)²

1² + 2*1*√2 + √2² = a² / b²

a² = b²(3 + 2√2)

a²/b² = 3 + 2√2

$\sqrt{\frac{a^{2} }{b^{2} } }$ = $\sqrt{3 + 2\sqrt{2} }$

Mostra uma incongruência pois a/b representa uma fração irredutivel representada por 2 números inteiros, características dos números racionais.