Question

faça o estudo do sinal da função f(x) =2x² -3x - 8​

Answer 1

Usando as regras para estudo de sinal, obtém-se:

Negativo no intervalo ( (3 - √73 )/4 ; ( 3 + √73 )/4 )

Positivo nos intervalos:

( - ∞ ;  (3 - √73) / 4 )   ou   ( ( 3 + √73) /4  ; + ∞ )

Como é uma função do segundo grau, para fazer o estudo do sinal da função necessitamos de:

• saber que tipo de parábola é
• conhecer as raízes
• indicar o estudo do sinal

As equações completas do segundo grau são do tipo:

$ax^2+bx+c=0\\~\\a\neq0~~~~~a~{;}~b~{;}~c~~~\in\mathbb{R}$

Primeiro : tipo de parábola

• se $a > 0$ a parábola tem concavidade virada para cima

• se a < 0 tem concavidade virada para baixo

$f(x)=2x^2-3x-8$

Tem a = 2   logo maior que zero , portanto concavidade virada para cima.

Segundo : Determinar as raízes

Fórmula de Bhaskara

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\~\\\Delta=b^2-4\cdot a \cdot c$

a = 2

b = - 3

c = - 8

$\Delta=(-3)^2-4\cdot 2 \cdot (-8)=9+64=73$

$x_{1}=\dfrac{-(-3)+\sqrt{73}}{2\cdot2}\\~\\\\x_{1}=\dfrac{3+\sqrt{73}}{4}\\~\\\\x_{2}=\dfrac{3-\sqrt{73}}{4}$    

Observação→ Quando existe um sinal negativo antes de parênteses os valores dentro dele , quando saem, tomam o valor oposto ( simétrico)

Exemplo :

$-(-3) ~=~+3$

Terceiro : Estudo do sinal

• Entre as raízes da equação o sinal é negativo
• Fora das raízes é positivo

( comparar com o que está assinalado no gráfico em anexo )

Esta é um regra geral:

• Se  a > 0 ,
• parábola com concavidade virada para cima
• raízes diferentes
• entre as raízes o sinal é negativo
• fora das raízes o sinal é positivo

Observação → Será o oposto se a < 0. Mas não é para este problema.

Neste caso as raízes dão valores não simpáticos, mas é de acordo com o enunciado.

Pode-se também escrever com outro formato :

• Sinal negativo no intervalo

$(\dfrac{3-\sqrt{73} }{4}~~ {;}~~\dfrac{3+\sqrt{73} }{4})$

• Sinal Positivo

$(~-\infty;~\dfrac{3-\sqrt{73} }{4})~ \cup~(~\dfrac{3+\sqrt{73} }{4}~{;}~+\infty)$

Tem assim o estudo de sinal na forma de conjuntos.

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Bons estudos.

Att     Duarte Morgado

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( ≠ )  diferente    ( ∈ ) pertence a  ( R ) conjunto números reais

( ∪ ) União ou reunião de conjuntos     $(\cdot)$  multiplicação

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.