Matemática, perguntado por 6341g3hfg, 8 meses atrás

Faça o estudo de sinal de cada uma das funções quadráticas abaixo:
a) y = −x 2 + 2x − 1

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por morgadoduarte23
0

Resposta:

a) Função é sempre negativa exceto quando x = 1 em que a função é nula

b) Função é sempre positiva.

c) Função negativa entre ] 3 ; 5 [   e  

Função positiva em ] - ∞ ; 3 [    e  em ] 5 ; + ∞ [

d) Função sempre positiva , exceto em x = 0  em que é nula.

e) Função positiva entre ] - 3 ; 1/3 [    

Função negativa em ] - ∞ ; - 3 [    e  em ] 1/3 ; + ∞ [

( tem em ficheiro anexo os gráficos destas cinco funções ; para aceder clicar em "baixar pdf " )

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Faça o estudo de sinal de cada uma das funções quadráticas abaixo:

a) y = − x² + 2x − 1  

b) y =  3x² - x + 4

c) y =   x² - 8x + 15

d) y =  3x²

e) y = - 3x² - 8x + 3

Resolução:

Nota prévia:

Vou analisar os seguintes aspetos das funções:

1) análise do Δ ( binómio discriminante )

2) determinar as raízes

3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos

a) y = − x² + 2x − 1  

Multiplicar tudo por "- 1 "

- (  x² - 2x + 1 ) = 0

1) análise do Δ ( binómio discriminante )

Δ = b² - 4 * a * c

a =    1

b = - 2

c =    1

Δ = ( - 2 )² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0

Quando Δ = 0 , só existe uma raiz real

2) determinar as raízes

- ( x² - 2x + 1 )= 0

Este é um produto notável. É o quadrado de uma diferença

⇔ - ( x - 1 )² = 0

⇔ - ( x - 1 ) = 0

⇔  - x + 1 = 0

⇔  - x = - 1

⇔   x =  1

3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos

Como a = - 1  logo < 0  , a parábola tem a concavidade virada para baixo

Como a função só tem uma raiz, apenas toca ( é tangente) no eixo dos xx

Estudo do sinal:

Função é sempre negativa exceto quando x = 1 em que a função é nula

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

b) y =  3x² - x + 4  

1) análise do Δ ( binómio discriminante )

Δ = b² - 4 * a * c

a =   3

b = - 1

c =    4

Δ = ( - 1 )² - 4 * 3 * 4 = 1 - 48 = - 47

Por a = 1  logo > 0 , a função tem concavidade virada para cima

2) determinar as raízes

Como Δ  = - 47   logo negativo , não existem soluções pertencentes aos números reais.

Estudo do sinal:

Função é sempre positiva.

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

c) y =   x² - 8x + 15

1) análise do Δ ( binómio discriminante )  

Δ = b² - 4 * a * c

a =    1

b =  - 8

c =    15

Δ = ( - 8 )² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4

Δ = 4  logo   Δ > 0 . existem duas raízes pertencentes a R e são distintas.

2) determinar as raízes

Usar fórmula de Bhaskara

x = ( - b ±√Δ ) /2a

y =   x² - 8x + 15

a =    1

b =  - 8

c =    15

Δ = ( - 8 )² - 4 * 1 * 15 = 64 - 60 = 4

√Δ = √4 =  2

x' = ( - ( - 8 ) + 2 ) /  ( 2 * 1 )

x' = ( 8  + 2 ) / 2

x' = 10/2

x' = 5

x'' = ( - ( - 8 ) - 2 ) /  ( 2 * 1 )

x'' = ( 8 - 2 ) / 2

x'' = 6/2

x'' = 3

3) fazer o estudo do sinal, mediante os dados obtidos

a = 1  logo > 0 , concavidade virada para cima

Função negativa entre ] 3 ; 5 [ ;

 

Função positiva em ] - ∞ ; 3 [    e  em ] 5 ; + ∞ [

ººººººººººººººººººººººººººººººººº

d) y =  3x²

Nota →

qualquer valor ao quadrado vem positivo.

Um valor positivo a multiplicar por um número positivo vem positivo

3) fazer o estudo do sinal

Função sempre positiva , exceto em x = 0  em que é nula.

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

e) y = - 3x² - 8x + 3

1) análise do Δ ( binómio discriminante )  

Δ = b² - 4 * a * c  

a =   - 3

b =   - 8  

c =      3

Δ = ( - 8 )² - 4 * ( - 3 ) * 3 = 64 + 36 = 100

 

2) determinar as raízes

Usar fórmula de Bhaskara  

x = ( - b ±√Δ ) /2a

y = - 3x² - 8x + 3

a =   - 3

b =   - 8  

c =      3

Δ = ( - 8 )² - 4 * ( - 3 ) * 3 = 64 + 36 = 100

√Δ = √100 =  10

x' = ( - ( - 8 ) + 10 ) /  ( 2 *  ( - 3 ) )

x' = ( 8  + 10 ) / ( - 6 )

x' = 18 / ( - 6 )

x' = - 3

x'' = ( - ( - 8 ) - 10 ) / ( 2 *  ( - 3 ) )

x'' = ( 8 - 10 ) / ( - 6 )

x'' = - 2 / ( - 6 )

x'' = 1/3

3) fazer o estudo do sinal

a =  - 3  logo <  0 , concavidade virada para baixo

Função positiva entre ] - 3 ; 1/3 [ ;

 Função negativa em ] - ∞ ; - 3 [    e  em ] 1/3 ; + ∞ [

+++++++++++++++++++++++++

Sinais: ( * ) multiplicar          ( / )  dividir         ( < ) menor do que  

( > ) maior do que        ( ∞ ) infinito

( x '  e x'' ) são nomes dados às raízes da função      

++++++++++++++++++++++++++++

Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.

 

Anexos:
Perguntas interessantes