Question

Faça o estudo completo: gráfico, raiz, estudo do sinal, intercepto com eixo Y, imagem, forma fatorada da função.

f(x)= x^{2} -2x+1

Answer 1

f(x) = x²-2x +1

Zeros: 
f(x) = 0 <=>
x² - 2x + 1 = 0 
No Brasil vocês utilizam o Bashkara para resolver este tipo de equação, em Portugal nós usamos a Fórmula resolvente. 
Portanto as soluções: x = 1 (raíz dupla), portanto há apenas um zero que irá corresponder ao vértice do gráfico da função, uma vez que esta é uma função quadrática.

Ora vem, este x = 1 será um máximo ou um mínimo ? É facil inferir as conclusões se virmos que se trata de uma função crescente, mas pode-se ir pela derivada:

Derivada de f(x) = 2x - 2 
Zero da derivada: f'(x) = 0 <=> 2x - 2 = 0 <=> 2x = 2 <=> x = 1 

Se fizermos uma tabela de sinais: 
                  - inf               1             +inf                  
f' (x)              negativa        0            positiva

f(x)            decrescente    f(1)          crescente 


Como será o gráfico? 
O gráfico da função f é então uma parábola que interseta o eixo dos x em x= 1 sendo que esse ponto corresponde ao vértice da parábola. A função é descrescente de -infinito até x = 1 e crescente novamente de x= 1 até +infinito. Deste modo a concavidade é virada para cima. (forma de U) 

Interseção com eixo Y:
A função interseta o eixo de y quando o valor de x é zero.
F(0) = 2x 0² - 2x0 + 1 = 1 

O ponto de interseção é y = 1 (coordenadas (0;1)

Forma faturada: 
f(x) = (x-1)(x-1)