Question

Faça o esboço do gráfico das seguintes funções: a) y = x2 – 6x + 8 b) y = –x2 – 4x + 12

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

a) $\sf y=x^2-6x+8$

• Concavidade:

$\sf a=1~\longrightarrow~a>0~;~concavidade~para~cima$

• Raízes:

$\sf x^2-6x+8=0$

$\sf \Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8$

$\sf \Delta=36-32$

$\sf \Delta=4$

$\sf x=\dfrac{-(-6)\pm\sqrt{4}}{2\cdot1}=\dfrac{6\pm2}{2}$

$\sf x'=\dfrac{6+2}{2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{8}{2}~\longrightarrow~x'=4$

$\sf x"=\dfrac{6-2}{2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{4}{2}~\longrightarrow~x"=2$

O gráfico dessa função intercepta o eixo $\sf x$ nos pontos $\sf (2,0)$ e $\sf (4,0)$

• Eixo $\sf y$

Para $\sf x=0$:

$\sf y=0^2-6\cdot0+8$

$\sf y=0-0+8$

$\sf y=8$

O gráfico dessa função intercepta o eixo $\sf y$ no ponto $\sf (0,8)$

• Vértice

$\sf \bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-6)}{2\cdot1}$

$\sf x_V=\dfrac{6}{2}$

$\sf x_V=3$

$\sf \bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{4\cdot1}$

$\sf y_V=\dfrac{-4}{4}$

$\sf y_V=-1$

O vértice da parábola dessa função é $\sf V(3,-1)$

O gráfico está em anexo (em azul)

b) $\sf y=-x^2-4x+12$

• Concavidade:

$\sf a=-1~\longrightarrow~a<0~;~concavidade~para~baixo$

• Raízes:

$\sf -x^2-4x+12=0$

$\sf \Delta=(-4)^2-4\cdot(-1)\cdot12$

$\sf \Delta=16+48$

$\sf \Delta=64$

$\sf x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{64}}{2\cdot(-1)}=\dfrac{4\pm8}{-2}$

$\sf x'=\dfrac{4+8}{-2}~\longrightarrow~x'=\dfrac{12}{-2}~\longrightarrow~x'=-6$

$\sf x"=\dfrac{4-8}{-2}~\longrightarrow~x"=\dfrac{-4}{-2}~\longrightarrow~x"=2$

O gráfico dessa função intercepta o eixo $\sf x$ nos pontos $\sf (-6,0)$ e $\sf (2,0)$

• Eixo $\sf y$

Para $\sf x=0$:

$\sf y=-0^2-4\cdot0+12$

$\sf y=-0-0+12$

$\sf y=12$

O gráfico dessa função intercepta o eixo $\sf y$ no ponto $\sf (0,12)$

• Vértice

$\sf \bullet~~x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$\sf x_V=\dfrac{-(-4)}{2\cdot(-1)}$

$\sf x_V=\dfrac{4}{-2}$

$\sf x_V=-2$

$\sf \bullet~~y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

$\sf y_V=\dfrac{-64}{4\cdot(-1)}$

$\sf y_V=\dfrac{-64}{-4}$

$\sf y_V=16$

O vértice da parábola dessa função é $\sf V(-2,16)$

O gráfico está em anexo (em vermelho)