Faça o esboço do gráfico das funções dadas pelas leis seguintes:
a) y = x2 − 4x + 4
( Eu queria a b e c)
Soluções para a tarefa
Resposta:
( tem em ficheiros anexos os gráficos destas funções ; para aceder clicar em "baixar pdf " )
Explicação passo-a-passo:
Enunciado:
Faça o esboço do gráfico das funções dadas pelas leis seguintes:
a) y = x² − 4x + 4
b) y = − 3x² + 9x
c) y = 2x² + 3x + 4
Resolução:
Nota prévia:
Posso lhe dar , calculados, os valores e imagens que permitem a si elaborar o gráfico.
São :
1) raízes da função
2) coordenadas de vértice da função
3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy
4) O gráfico feito em computador
Com tudo isto facilmente consegue montar o gráfico.
a) y = x² − 4x + 4
x² − 4x + 4 é o desenvolvimento de um produto notável.
O quadrado de uma diferença.
x² − 4x + 4 = x² − 2*2x + 2² = ( x - 2 )²
1) raízes da função
( x - 2 )² = 0
x - 2 = 0
x = 2
Tem uma só raiz.
Por isso toca no eixo do xx, não o interseta.
O resto do gráfico fica todo acima do eixo dos xx porque a concavidade é virada para cima
2) coordenadas de vértice da função
Cálculo das coordenadas do vértice
Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.
1ª etapa - Recolha de dados
y = x² − 4x + 4
a = 1
b = - 4
c = 4
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0
Se tem só uma raiz , o vértice tem de coordenadas as do ponto de tangência com o eixo dos xx
Vértice ( 2 ; 0 )
Interseta o eixo dos yy no ponto ( 0 ; 4 )
Estudo do sinal.
Sempre positiva, exceto em x = 2 onde é igual a zero.
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººº
b) y = − 3x² + 9x
1) raízes da função
− 3x² + 9x = 0
Vou decompor em atores. Não é necessário recorrer à Fórmula de Bhaskara
− 3x² + 9x = 0
⇔ - 3 x * x + 9 * x = 0
⇔ - 3 x * ( x - 3 ) = 0
Um produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores for nulo.
Fatores são elementos de uma multiplicação.
⇔ - 3 x = 0 ∨ x - 3 = 0
⇔ x = 0 ∨ x = 3
2) coordenadas de vértice da função
Cálculo das coordenadas do vértice
Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.
1ª etapa - Recolha de dados
a = - 3
b = 9
c = 0
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 9² - 4 * ( - 3 ) * 0 = 81
2ª Etapa - Calcular as coordenadas do vértice
Coordenada em "x"
x = - b /2a
x = - 9 /( 2 * ( - 3 )) = -9 / ( - 6 ) = 3/2 ou 1,5
Coordenada em "y"
y = - Δ / 4a
y = - 81 / ( 4 * ( - 3 )) = - 81 / ( - 12 ) = 27/4 ou 6,75
Vértice ( 3/2 ; 27/4 )
3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy
Não são preciso cálculos pois passa pelo ponto ( 0 ; 0 ).
É esse o ponto de interseção com eixo dos yy
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
c) y = 2x² + 3x + 4
1) raízes da função
Usar fórmula de Bhaskara
x = ( - b ±√Δ ) /2a
a = 2
b = 3
c = 4
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = 3² - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 23
Sendo Δ negativo não tem raízes nos números reais, logo não interseta eixo dos xx
2) coordenadas de vértice da função
Cálculo das coordenadas do vértice
Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.
1ª etapa - Recolha de dados
a = 2
b = 3
c = 4
Δ = b² - 4 * a * c
Δ = - 23
2ª Etapa - Calcular as coordenadas do vértice
Coordenada em "x"
x = - b /2a
x = - 3 /( 2 * 2 ) = - 3/4 ou 0,75
Coordenada em "y"
y = - Δ / 4a
y = - ( - 23 ) / ( 4 * 2 ) = 23/8 ou 2,875
Vértice ( - 3/4 ; 23/8 )
3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy
Todos os pontos do eixo dos yy, em qualquer função, têm coordenada em x igual a zero.
Para calcular a coordenada em y calculo o f(0)
f(0) = 2* 0² + 3 * 0 + 4
f(0) = 4
O gráfico da função cruza o eixo dos yy no ponto ( 0 ; 4 )
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Sinais: ( * ) multiplicar ( / ) dividir (⇔) equivalente a
( Δ ) delta ; representa o binómio discriminante
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Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.
Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a
resolução a possa compreender otimamente bem.