Matemática, perguntado por tyjghvbbgh, 7 meses atrás

Faça o esboço do gráfico das funções dadas pelas leis seguintes:
a) y = x2 − 4x + 4
( Eu queria a b e c)

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por morgadoduarte23
0

Resposta:

( tem em ficheiros anexos os gráficos destas funções ; para aceder clicar em "baixar pdf " )

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Faça o esboço do gráfico das funções dadas pelas leis seguintes:

a) y = x² − 4x + 4

b) y = − 3x² + 9x

c) y =  2x² + 3x + 4

Resolução:  

Nota prévia:

Posso lhe dar , calculados, os valores e imagens que permitem a si elaborar o gráfico.

São :

1) raízes da função

2) coordenadas de vértice da função

3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy

4) O gráfico feito em computador

Com tudo isto facilmente consegue montar o gráfico.

a) y = x² − 4x + 4

x² − 4x + 4 é o desenvolvimento de um produto notável.

O quadrado de uma diferença.

x² − 4x + 4 = x² − 2*2x + 2² = ( x - 2 )²

 

1) raízes da função

( x - 2 )² = 0

x - 2 = 0

x = 2

Tem uma só raiz.

Por isso toca no eixo do xx, não o interseta.

O resto do gráfico fica todo acima do eixo dos xx porque a concavidade é virada para cima

2) coordenadas de vértice da função

Cálculo das coordenadas do vértice

Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.

1ª etapa - Recolha de dados

y = x² − 4x + 4

a =    1

b = - 4

c =   4

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = ( - 4 )² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0

Se tem só uma raiz , o vértice tem de coordenadas as do ponto de tangência com o eixo dos xx

Vértice ( 2 ; 0 )  

Interseta o eixo dos yy no ponto ( 0 ; 4 )

Estudo do sinal.  

Sempre positiva, exceto em x = 2 onde é igual a zero.

ºººººººººººººººººººººººººººººººººººº

b) y = − 3x² + 9x        

1) raízes da função

− 3x² + 9x  = 0

Vou decompor em atores. Não é necessário recorrer à Fórmula de Bhaskara

− 3x² + 9x  = 0

⇔ - 3 x * x + 9 * x = 0

⇔ - 3 x * ( x - 3 )  = 0

Um produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores for nulo.

Fatores são elementos de uma multiplicação.

⇔ - 3 x  = 0      ∨   x - 3   = 0

⇔  x  = 0      ∨   x = 3

 

2) coordenadas de vértice da função

Cálculo das coordenadas do vértice

Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.

1ª etapa - Recolha de dados

a = - 3

b =   9

c =   0

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 9² - 4 * ( - 3 ) * 0 = 81

2ª Etapa - Calcular as coordenadas do vértice    

Coordenada em "x"      

x = - b /2a

x =  - 9 /( 2 * ( - 3 )) = -9 / ( - 6 ) = 3/2   ou 1,5

Coordenada em "y"

y = - Δ / 4a  

y =  - 81 / ( 4 * ( - 3 )) = - 81 / ( - 12 ) = 27/4  ou 6,75

Vértice ( 3/2 ; 27/4 )

 

3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy

Não são preciso cálculos pois passa pelo ponto ( 0 ; 0 ).

É esse o ponto de interseção com eixo dos yy  

ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº

c) y =  2x² + 3x + 4  

1) raízes da função

Usar fórmula de Bhaskara

x = ( - b ±√Δ ) /2a  

a =   2

b =    3

c =   4

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = 3² - 4 * 2  * 4  =   9 - 32 = - 23

Sendo Δ negativo não tem raízes nos números reais, logo não interseta eixo dos xx

2) coordenadas de vértice da função

Cálculo das coordenadas do vértice  

Resolvendo usando duas etapas e duas pequenas fórmulas.

1ª etapa - Recolha de dados

a =  2

b =  3

c =  4

Δ = b² - 4 * a * c

Δ = - 23

2ª Etapa - Calcular as coordenadas do vértice

Coordenada em "x"      

x = - b /2a

x = - 3 /( 2 * 2 ) = - 3/4  ou  0,75  

Coordenada em "y"  

y = - Δ / 4a

y = - ( - 23 ) / ( 4 * 2 ) = 23/8   ou  2,875

Vértice ( - 3/4    ;  23/8 )  

 

3) coordenadas do ponto de interseção do gráfico com eixo dos yy

Todos os pontos do eixo dos yy, em qualquer função, têm coordenada em x igual a zero.  

Para calcular a coordenada em y calculo o f(0)

f(0) =  2* 0² + 3 * 0 + 4

f(0) = 4

O gráfico da função cruza o eixo dos yy no ponto ( 0 ; 4 )  

+++++++++++++++++++++++++

Sinais: ( * ) multiplicar    ( / )  dividir           (⇔) equivalente a    

(  Δ ) delta ; representa o binómio discriminante

++++++++++++++++++++++++++++

Qualquer dúvida me contacte pelos comentários desta pergunta.  

Procuro resolver com detalhe elevado para que quem vai aprender a  

resolução a possa compreender otimamente bem.  

Anexos:
Perguntas interessantes