Question

Faça o esboço da região limitada por y = 2x^2 e y= 2. Determine a área ocupada por esta região.

Answer 1

Resposta:

A área da região limitada pelas funções dadas vale 8/3 u.a. e o esboço do gráfico desta região encontra-se na figura abaixo.

Explicação passo a passo:

Para responder a esta questão vamos aplicar o conceito de área de um região delimitada entre duas funções através da integral definida.

$A_{R}=\int\limits^b_a {[f(x)-g(x)]} \, dx$

Onde f(x) é a função acima da região e g(x) a função abaixo da região como apresentado na figura abaixo.

Dessa forma temos:

f(x) = 2 e g(x) = 2x² cuja diferença é dada por:

f(x) - g(x) = 2 - 2x²

Para identificar os limites de integração basta igualar as duas funções:

f(x) = g(x)

2x² = 2

x² = 1

x = ± 1

A área da região limitada pelos gráficos das funções é dada por:

$A_R=\int\limits^1_{-1} {(2-2x^2)} \, dx=\int\limits^1_{-1} {2} \, dx -\int\limits^1_{-1} {2x^2} \, dx$

Calculando as integrais separadamente temos:

$\int\limits^1_{-1} {2} \ dx = 2\cdot \int\limits^1_{-1} {dx}=2\cdot x|\limits^1_{-1}=2+2=4$

$\int\limits^1_{-1} {2x^2} \ dx =2\cdot \int\limits^1_{-1} {x^2} \ dx =\dfrac{2}{3}x^3|\limits^1_{-1}=\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$

Portanto a área vale:

$A_R=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3} \ u.a.$