Question

Faça b = a nas expressões a seguir e prove os arcos duplos sen (2a) = 2sen (a) . cos (a), cos(2a) = 1 - 2sen² (a) e tg 2a / ( 1-tg²(a)).

Answer 1

Uma forma de você sempre lembrar da fórmula dos arcos duplos é partir das fórmulas de adição de arcos.

• Primeiro vamos começar com o seno:

Temos que a fórmula de adição de arcos para o seno é dada por:

• "Na minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá Sen(a) , Cos (b) , Sen (b) , Cos (a).

$sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a)$

Essa fórmula é para quando temos (a + b), mas se considerarmos a soma de (a + a) vamos ter que:

$sen(a + a) = sen(a).cos(a) + sen(a).cos(a) \\ \boxed{ sen(2a) = 2sen(a).cos(a)}$

• Agora vamos para o cosseno:

A fórmula da adição de arcos para o cosseno é dada por:

• Cossa (a) Cossa (b), sem su(a)r sem sa(b)er.

$cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b)$

Considerando a soma de (a + a):

$cos(a + a) = cos(a).cos(a) - sen(a).sen(a) \\ \boxed{cos(2a) = cos {}^{2} (a) - sen {}^{2} (a)}$

Ainda podemos fazer mais uma coisa, pois se você levar em consideração que sen²(a) = 1 - cos²(a), teremos então que:

$sen {}^{2} (a) + cos {}^{2} (a) = 1 \\ sen {}^{2} (a) = 1 - cos {}^{2} (a)$

Substituindo:

$cos(2a) = cos {}^{2} (a) - sen {}^{2} (a) \\ cos(2a) = cos {}^{2} (a) - (1 - sen {}^{2} (a)) \\ cos(2a) = cos {}^{2} (a) - 1 + sen {}^{2} (a) \\ \boxed{cos(2a) = sen {}^{2} (a) + cos {}^{2} (a) - 1}$

Ainda podemos considera que cos²(a) = 1 - sen²(a), então:

$cos(2a) = cos^2(a) - sen^2(a)\\ cos(2a) = 1 - sen^2(a) - sen^2(a) \\ \boxed{ cos(2a) = 1 - 2sen^2(a)}$

• Por fim vamos para tangente:

A fórmula da adição de arcos é dada por:

• "Tem gente que ama, tem gente que beija, hummmm tem gente que ama e beija"

$tg(a + b) = \frac{tg(a) + tg(b)}{1 - tg(a).tg(b)}$

Considerando a soma (a + a):

$tg(a + a) = \frac{tg(a) + tg(a)}{1 - tg(a).tg(a)} \\ \\ \boxed{ tg(2a) = \frac{2tg(a)}{ 1 - tg {}^{2}(a) } }$

Espero ter ajudado