Question

Faça a integração pelo o metodo da substituição

∫ $x \sqrt{x+1}dx$

Answer 1

Olá


$\displaystyle \int x \sqrt{x+1} ~dx \\ \\ \\ \text{Fazendo a substituicao} \\ \\ \\ \mathsf{u=x+1} ~~~~ ~~~~\longrightarrow~~~\mathsf{x=u-1}\\ \mathsf{du=dx} \\ \\\\\text{No lugar do 'x' que esta na frente da raiz, substituiremos por 'u-1'} \\ \\ \\ \int(u-1)\cdot \sqrt{u} \\ \\ \\ \int(u-1)\cdot (u)^ \frac{1}{2} \\ \\ \\ \text{Aplica a distributiva} \\ \\ \\ \int u^ \frac{3}{2} -u^ \frac{1}{2} du \\ \\ \\ \text{Separa em duas integrais}$

$\displaystyle \int u^ \frac{3}{2}du~ -~\int u^ \frac{1}{2} du \\ \\ \\ = \frac{u^ {\frac{3}{2}+1} }{ \frac{3}{2} +1} ~-~ \frac{u^{ \frac{1}{2} +1}}{ \frac{1}{2} +1} \\ \\ \\ = \frac{u^ \frac{5}{2} }{ \frac{5}{2} } ~-~ \frac{u^ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{2} } \\ \\ \\ = \frac{2u^ \frac{5}{2} }{5} ~-~ \frac{2u^ \frac{3}{2} }{3} \\ \\ \\ \text{Voltando com 'x+1' no lugar do 'u'.} \\ \\ \\ =\boxed{ \frac{2(x+1)^ \frac{5}{2} }{5} ~-~ \frac{2(x+1)^ \frac{3}{2} }{3} ~+~C}$

$\displaystyle \text{Ou se preferir, a reposta em forma de raiz} \\ \\ \\ =\boxed{ \frac{2 \sqrt{(x+1)^5} }{5} ~-~ \frac{2 \sqrt{(x+1)^3} }{3} ~+~C}$




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