Question

Faça a integração pelo método da substituição

∫$\frac{(x^2+2)}{ \sqrt[3]{x^3+6x} } dx$

Answer 1

$\displaystyle \int\frac{x^2+2}{\sqrt[3]{x^3+6x}}dx$
Substituindo 
$u=x^3+6x$
Obtemos:
$\displaystyle \frac{du}{dx}=3x^2+6\implies \frac{du}{dx}=3(x^2+2)\implies \frac{du}{3}=x^2+2dx$
substituindo na integral:
$\displaystyle \int\frac{x^2+2}{\sqrt[3]{u}}dx=\frac{1}{3}\int\frac{du}{\sqrt[3]{u}}$
resolvendo obtemos:
$\displaystyle i)~~~~\frac{1}{3}\int\frac{du}{\sqrt[3]{u}}\\\\ii)~~~\frac{1}{3}\int u^{-\frac{1}{3}}du=-\frac{1}{2}u^{\frac{2}{3}}+c=-\frac{1}{2}(\sqrt[3]{u})^2+c$
substituindo u pela função original:
$\displaystyle \int\frac{x^2+2}{\sqrt[3]{x^3+6x}}dx=\boxed{-\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x^3+6x}\right)^2+c}$