Question

(Fac-Santa Marcelina) Os dois primeiros termos
consecutivos de uma progressão geométrica são V2 e 3V2. Nessa progressão, o termo igual a 1 ocupará a posição

(A)5.
(B) 8.
(C) 12.
(D) 11.
(E)4.​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\mathtt{E}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado e tratando de uma Progressão Geométrica (PG), temos que a razão dessa sequência vale:

$\\ \displaystyle \mathsf{r = \frac{a_2}{a_1}} \\\\ \mathsf{r = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} \\\\ \boxed{\mathsf{r = 3}}$

Portanto,

$\\ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}, \ n \in \mathbb{N}^{\ast}} \\\\ \mathsf{1 = \sqrt{2} \cdot 3^{n - 1}} \\\\ \mathsf{3^{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}} \\\\ \mathsf{\log_3 \frac{1}{\sqrt{2}} = n - 1} \\\\ \mathsf{\log_3 2^{- \frac{1}{2}} = n - 1} \\\\ \mathsf{- \frac{1}{2} \cdot \log_3 2 = n - 1} \\\\ \boxed{\mathsf{n = 1 - \frac{1}{2} \cdot \log_3 2}}$

Porém, uma vez que, $\displaystyle \mathtt{\log_3 2 \notin \mathbb{N}^{\ast}}$, podemos concluir que $\displaystyle \mathtt{n}$ também não pertencerá ao referido conjunto. Com isso, nenhuma das alternativas poderá ser verdadeira...

Dito isto, presumo que os termos tenham sido digitados incorretamente! Assim,

(Fac-Santa Marcelina) Os dois primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica são e . Nessa progressão, o termo igual a 1 ocupará a posição

:

(A) 5

(B) 8

(C) 12

(D) 11

(E) 4.

Encontremos a razão (q).

$\\ \displaystyle \mathsf{r = \frac{a_2}{a_1}} \\\\ \mathsf{r = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{2}}} \\\\ \mathsf{r = \frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}}}} \\\\ \mathsf{r = 2^{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}} \\\\ \boxed{\mathsf{r = 2^{- \frac{1}{6}}}}$

Logo,

$\\ \displaystyle \mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}, \ n \in \mathbb{N}^{\ast}} \\\\ \mathsf{1 = \sqrt{2} \cdot \left ( 2^{- \frac{1}{6}} \right )^{n - 1}} \\\\ \mathsf{\left ( 2^{- \frac{1}{6}} \right )^{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}} \\\\ \mathsf{2^{- \frac{n - 1}{6}} = 2^{- \frac{1}{2}}}$

Igualando os expoentes, já que as bases são iguais, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{- \frac{n - 1}{6} = - \frac{1}{2}} \\\\ \mathsf{- 2(n - 1) = 6 \cdot (- 1)} \\\\ \mathsf{- 2n + 2 = - 6} \\\\ \mathsf{- 2n = - 8} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{n = 4}}}$