Question

. (Faap) Um chapéu de papel em forma de cone tem 10 centímetros de diâmetro e 10 centímetros de profundidade. Seu vértice é empurrado para baixo e para dentro conforme a figura a seguir. Que distância sua ponta penetra no espaço interno do chapéu se o novo volume do chapéu é 4/5 do volume original?? me ajudeeem por favor!

Answer 1

Bom dia,
A imagem está em anexo.
Considerando que o chapéu tem formato de cone, vamos calcular seu volume a partir dessa informação. Sabendo que o raio é a metade do diâmetro e que a profundidade é a altura do cone, temos o que precisamos para calcular o volume a partir da seguinte fórmula:

$V = (1/3) * A_{base}*h$

em que $A_{base}$ é a área da base do cone, que é π*r².

$A_{base}$= π*r²

Como o raio é metade do diâmetro. r= 5cm. Logo:

$A_{base}$ = π*r²
$A_{base}$ = π*5²
$A_{base}$ = 25*π cm²

O volume é, portanto:

$V$ = (1/3) * 25*π*h  --- substituindo h = 10 cm
$V$ = (1/3) * 25*π*10 
$V$= (1/3) * 250*π 

O volume do chapéu após o vértice ser empurrado é 4/5 do original, logo:

$V_{2}$ = (4/5)* (1/3) * 250*π 
$V_{2}$ = (1/3) * 200*π  ---- multiplicando (4/5)*250

O volume do chapéu também pode ser escrito a partir da figura como:
$V = V_{2} + 2* V_{empurrado}$

Sendo $V_{empurrado}$ o volume do cone de raio x/2. Calculando esse volume, temos:
$V_{empurrado}$ = (1/3)*π(x/2)² * x
$V_{empurrado}$ = (1/3)*π(x²/4) * x
$V_{empurrado}$ = (1/3)*π(x³/4)  
$V_{empurrado}$ = π(x³/12)  

Para descobrir x:
$V = V_{2} + 2*V_{empurrado}$
(1/3) * 250*π = (1/3) * 200*π + 2*π(x³/12)
50*π*(1/3) = π*(x³)/6
100 = x³
x = ∛100
(ver questão a partir da figura em anexo)

Answer 2

A distância que sua ponta penetra no espaço interno do chapéu será de: ∛100.

O que é a Geometria Espacial?

A geometria espacial acaba desenvolvendo sobre figuras onde seus pontos não podem estar todos em um mesmo plano e suas principais representações são: Poliedros, Prismas, Paralelepípedo e etc.

E dentre todos os elementos da mesma, existe o cone, que é o conglomerado de todos os segmentos que possuem uma extremidade em v, e na outra um ponto "aleatório" no círculo.

Então teremos as seguintes fórmulas, para volume e área da base:

• V = (1 / 3) . Abase . h

Abase = π . r²

PS: Raio segue sendo metade do diâmetro (5cm).

• Abase = π . r²

Abase = π . 5²

Abase = 25 . π cm².

Então o nosso volume será de:

• V = (1 / 3) . 25 . π . h

V = (1 / 3) . 25 . π . 10

V = (1 / 3) . 250 . π

Agora desenvolvendo o volume desse chapéu:

V2 = (4 / 5) . (1 / 3) . 250 . π

V2 = (1 / 3) . 200 . π

Calculando então o volume do cone desse raio, teremos:

• Vcon= (1 / 3) . π . (x / 2)² . x

Vcon = (1 / 3 ) . π (x² / 4) . x

Vcon = (1/3) . π (x³ / 4)

Vcon = π (x³ / 12)

Finalizando então com x , teremos:

(1/3) . 250 . π = (1/3) . 200 . π + 2 . π(x³/12)

50 . π . (1/3) = π . (x³) / 6

100 = x³

x = ∛100

Para saber mais sobre Geometria Espacial:

brainly.com.br/tarefa/37586574

Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :))

#SPJ3