(Faap-Sp) No triângulo ABC (ver figura) , tem si BD bissetriz interna do ângulo B. Os valores das medidas x e y são, respectivamente:
a) 2/3a , 1/3a
b) 4/15a , 1/3a
c) 4a , 3a
d) 4/15a , 3a
e) 4/5 a , 1/3a
Soluções para a tarefa
Resposta:
sen(C) = 4a/5a = 4/5
como o triângulo é retângulo
cos(B) = sen(C) = 4/5
cos(B/2) = √[(1 + cos(B))/2]
cos(B/2) = √[(1 +4/5)/2] = √(9/10) = 3/√10
cos²(B/2) + sen²(B/2) = 1
9/10 + sen²(B/2) = 10/10
sen²(B/2) = 1/10
sen(B/2) = 1/√10
tg(B/2) = sen(B/2)/cos(B/2) = (1/√10)/(3/√10) = 1/3
tg(B/2) = 5x/4a = 1/3
x = 4a/15
Pitágoras
a² = 16a²/25 + z²
z² = (25a² - 16a²)/25 = 9a²/25
z = 3a/5
y = z - x
y = 3a/5 - 4a/15
y = (9a - 4a)/15 = 5a/15 = a/3
x = 4a/15 e y = a/3
Explicação passo-a-passo:
Colega, existe um método muito mais fácil que o de cima:
Como é um triângulo retângulo(possui um ângulo reto em A) Você aplica teorema de Pitágoras, para achar o cateto adjacente AC(colado com a hipotenusa( o maior lado do triângulo)do triângulo, então ficaria assim:
a²=(4a/5)²+AC²(o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos)
a²=16a²/25+AC²(depois isolamos o AC², então teremos:)
a²-16²/25(para fazer essa subtração você tem que tirar o MMC de 1(existe o numero um debaixo do a², fazendo a divisão fica o próprio a²) e 25 para achar um denominador comum para ambos) que tirar =AC²
25a²-16a²/25=AC²
9a²/25=AC²
3a/5=AC(Valor do cateto)
perceba que x+y=3a/5, logo:
x=3a/5-y, então:
x=3a-5y/5
Pelo Teorema da bissetriz temos:
AB/AD=BC/DC
4a/5/x=a/y(agora vamos substituir o x)
4a/5/3a-5y/5(para dividir duas frações multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda)=a/y
20a/15a-25y=a/y(produto dos meios pelos extremos)
20ay=15a²-25ya
y=15a²-25ya/20a(simplificando pelo a)
y=15a-25y/20(isolando o y)
y+25y/20=15a/20
45y/20=15a/20(perceba que da pra simplificar tudo por 5 e eliminar os denominadores)
9y=3a, logo; y=3a/9, simplifica tudo por 3, y=1a/3
como x + 1a/3= 3a/5
x = 3a/5 - 1a/3( mmc de 3 e 5 é igual a 15)
x = 4a/15.
Abraços