Question

f(x,y,z) = x² + y² + z² máximo e mínimo

$vinculo \ \left\{\begin{matrix} g(x,y,z) \ = \ x \ + \ y \ + \ z \ - \ 2 \ = \ 0 ~~~~ \\ h(x,y,z) \ = \ x \ + \ 3y \ + \ 2z \ - \ 12 \ = \ 0 \end{matrix}\right.$

Answer 1

Olá.

Uma vez mais, temos uma questão sobre Multiplicadores de Lagrange, mas dessa vez com duas restrições para maximização. Felizmente, o procedimento ainda é o mesmo: Para maximizar F, temos que satisfazer o seguinte sistema:

$\begin{cases}\nabla F = \lambda \nabla g +\mu \nabla h\\ g(x,y,z) = 0\\ h(x,y,z) = 0\end{cases}$

Vamos fazer contas então:

$\nabla F = (2x,2y,2z)\\ \nabla g = (1,1,1)\\ \nabla h=(1,3,2)$

A primeira equação do sistema fica:

$(2x,2y,2z) = (\lambda,\lambda,\lambda) + (\mu,3\mu,2\mu)\iff\\ \\ \iff\begin{cases}x = \frac{\lambda + \mu}{2}\\ y = \frac{\lambda+3\mu}{2}\\ z = \frac{\lambda+2\mu}{2}\end{cases}$

Substituímos na segunda e terceira equações:

$x+y+z=2\Rightarrow 2x+2y+2z = 4\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow (\lambda+\mu) + (\lambda+3\mu)+(\lambda+2\mu) = 4\Rightarrow\\ \\\Rightarrow \boxed{3\lambda + 6\mu = 4} ~~~(i)$


$x+3y+2z=12\Rightarrow 2x+6y+4z=24\Rightarrow\\\\\Rightarrow(\lambda+\mu) + 3(\lambda+3\mu) + 2(\lambda+2\mu) = 24\Rightarrow\\ \\\Rightarrow6\lambda+14\mu = 24\Rightarrow\\ \\ \Rightarrow\boxed{3\lambda+7\mu = 12} ~~~(ii)$

(i) e (ii) formam um sistema de equações:

$\begin{cases}3\lambda +6\mu = 4\\3\lambda+7\mu = 12\end{cases}\overset{(ii)-(i)}\Longrightarrow \boxed{\mu = 8}\\ \\ 3\lambda = 4 - 6(8)\Rightarrow \boxed{\lambda = -\frac{44}{3}}$

Agora acabou: Voltamos ao sistema para descobrir (x,y,z):

$\begin{cases}x = \frac{\lambda + \mu}{2}\\ y = \frac{\lambda+3\mu}{2}\\ z = \frac{\lambda+2\mu}{2}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x = \frac{-\frac{44}{3}+ 8}{2}\\ y = \frac{-\frac{44}{3}+3(8)}{2}\\ z = \frac{-\frac{44}{3}+2(8)}{2}\end{cases}\Rightarrow\\ \\ \\ \Rightarrow\begin{cases}x = -\frac{10}{3}\\ y = \frac{14}{3}\\ z = \frac{2}{3}\end{cases}$

O ponto de extremo é, portanto:

$\boxed{P=\left(-\frac{10}{3},\frac{14}{3},\frac23\right)}$