Question

F(x;y;z)=(2xz + y^2)i + (2xy+3y^2)j + (x^2+3z^2)k

a) mostre q f é conservativo
b) encontre f tal que F=\/f
c) CALCULE F.dr onde c é uma curva qualquer de (1,0,1) a (0,0,-1)

Answer 1

Seja $F:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ o campo vetorial abaixo:

$F(x,y,z)=(2xz+y^{2},~2xy+3y^{2},~x^{2}+3z^{2})$

O rotacional de um campo $F=(F_{1},F_{2},F_{3})$ é definido por

$\mathtt{rot~F}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\partial_{x}&\partial_{y}&\partial_{z}\\F_{1}&F_{2}&F_{3}\end{array}\right|=(\partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2},~\partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3},~\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1})$

Encontrando as derivadas parciais necessárias:

$\partial_{y}F_{3}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}+3z^{2})=0\\\\\\\partial_{z}F_{2}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2xy+3y^{2})=0\\\\\\\partial_{z}F_{1}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2xz+y^{2})=2x\\\\\\\partial_{x}F_{3}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}+3z^{2})=2x\\\\\\\partial_{x}F_{2}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy+3y^{2})=2y\\\\\\\partial_{y}F_{1}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2xz+y^{2})=2y$

Portanto, o rotacional do campo em questão é dado por

$\mathtt{rot~F}=(0-0.~2x-2x,~2y-2y)=(0,0,0)$

Como $\mathbb{R}^{3}$ é uma região simplesmente conexa e o rotacional de $F$ é $\vec{0}$, temos que $F$ é um campo conservativo.
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Encontrando $f:\mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que $\nabla f(x,y,z)=(\partial_{x} f,\,\partial_{y}f,\,\partial_{z}f)=(F_{1},\,F_{2}\,F_{3})=F(x,y,z)$

Para isso, devemos ter

$\bullet~\partial_{x}f=F_{1}=2xz+y^{2}~~~~(\star)\\\bullet\partial_{y}f=F_{2}=2xy+3y^{2}~~~(\star\star)\\\bullet\partial_{z}f=F_{3}=x^{2}+3z^{2}~~~~~(\star\star\star)$

Integrando $(\star)$ em relação a x:

$f(x,y,z)=x^{2}z+xy^{2}+g(y,z)~~~~[\star]$

onde $g$ é uma função diferenciável que não depende de x (pois aí $\frac{\partial g}{\partial x}=0$)

Derivando $[\star]$ com respeito a y:

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy+\dfrac{\partial g}{\partial y}\overset{(\star\star)}{=}2xy+3y^{2}~\Leftrightarrow~\dfrac{\partial g}{\partial y}=3y^{2}~\Rightarrow~\boxed{g(x,y)=y^{3}+h(z)}$

Derivando $[\star]$ com respeito a z:

$\dfrac{\partial f}{\partial z}=x^{2}+\dfrac{\partial g}{\partial z}\overset{(\star\star\star)}{=}x^{2}+3z^{2}~\Leftrightarrow~\dfrac{\partial g}{\partial z}=3z^{2}~\Rightarrow~\boxed{g(x,y)=z^{3}+i(y)}$

Portanto, note que $g(y,z)=y^{3}+z^{3}$ satisfaz as condições, e

$\boxed{\boxed{f(x,y,z)=x^{2}z+xy^{2}+g(y,z)=x^{2}z+xy^{2}+y^{3}+z^{3}}}$

é uma função potencial de $F$.
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Seja $\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}^{3}$ uma curva qualquer tal que $\varphi(a)=(1,0,1)$ e $\varphi(b)=(0,0,-1)$

$\displaystyle\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=\int_{\varphi}\nabla f\cdot d\varphi=\int_{a}^{b}\nabla f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)\,dt$

Pela regra da cadeia, sabemos que $\nabla f(\varphi(t))\cdot\varphi'(t)=\dfrac{d}{dt}(f(\varphi(t))$, logo

$\displaystyle\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=\int_{a}^{b}\bigg[\dfrac{d}{dt}f(\varphi(t))\bigg]dt=f(\varphi(t))\bigg|_{a}^{b}\\\\\\\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=f(\varphi(b))-f(\varphi(a))\\\\\\\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=f(0,0,-1)-f(1,0,1)$

Encontrando $f(0,0,-1)$ e $f(1,0,1)$:

$f(0,0,-1)=0^{2}\times(-1)+0\times0+0^{3}+(-1)^{3}=-1\\\\f(1,0,1)=1^{2}\times1+1\times0^{2}+0^{3}+1^{3}=2$

Então:

$\displaystyle\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=(-1)-2\\\\\\\boxed{\boxed{\int_{\varphi}F\cdot d\varphi=-3}}$