Question

F(x)= √x + 1, Xo= 1Calcule: A reta tangente e a reta normal.

Answer 1

$\boxed{ f(x) = \sqrt{x+1} }$

ponto x0 = 1

equação da reta 
$\boxed{\boxed{y=m(x-x_0) + y_0}}$

m é o coeficiente angular...ele é dado pela derivada no ponto x0
y0 é valor da função no ponto x0
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$y_0= f(x0)\\\\y_0= f(1)\\\\y_0 = \sqrt{1+1} \\\\ \boxed{y_0= \sqrt{2} }$
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derivando a função
$f(x)= \sqrt{x+1}$

utilizando a regra da cadeia
$f(a) = \sqrt{a} \\\\f'(a) =\boxed{ \frac{1}{2 \sqrt{a} }* a' }$

a derivada da raíz se algo sempre será
1 sobre "a" (que é oque esta dentro da raíz).
..e multiplica isso pela derivada do que está dentro da raíz

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$f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x+1} }* 1 \\\\\boxed{f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x+1} } }$

1 é a derivada de (x+1)

o coeficiente angular da reta é dado pela derivada no ponto x0
x0 =1 
entao 
$m = f'(1)\\\\m = \frac{1}{2 \sqrt{1+1} }\\\\ \boxed{m= \frac{1}{2 \sqrt{2} } }$


a equação da reta tangente será
$T= \frac{1}{2 \sqrt{2} } (x-1) + \sqrt{2} \\\\ \boxed{T= \frac{x-1}{2 \sqrt{2} }+ \sqrt{2} }$

caso queira simplificar um pouco mais

$T= \frac{x-1}{2 \sqrt{2} }+ \sqrt{2} \\\\T= \frac{(x-1)+( \sqrt{2} * 2 \sqrt{2}) }{2 \sqrt{2}} \\\\T= \frac{x-1+4}{2 \sqrt{2} }\\\\T= \frac{x+3}{2 \sqrt{2} } \\\\T= \frac{(x+3)*(2 \sqrt{2})}{(2 \sqrt{2})*(2 \sqrt{2})} \\\\\boxed{T= \frac{(x+3)* \sqrt{2} }{4} }$
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a reta normal ela forma 90 graus com a reta tangente
a unica diferença dela para a reta tangente é o coeficiente angular

que será dado por 
$\boxed{- \frac{1}{f'(x0)} = \frac{-1}{m} }$

então o coeficiente angular da reta normal fica
$\frac{-1}{ \frac{1}{2 \sqrt{2} }}= \frac{-2 \sqrt{2} }{1} =-2 \sqrt{2}$


e equação da reta normal fica

$N = -2 \sqrt{2} (x-1) + \sqrt{2} \\\\N = -2x \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2}\\\\N = \sqrt{2}(-2x+2+1)\\\\ \boxed{N= \sqrt{2}*(3-2x) }$