Question

f(x)=[x+1/2x+3]² o valor de 54f'(0) é?​
mãe ajuda é até às 23 p 3ntregar

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = \left[ \frac{x + 1}{2x + 3} \right] {}^{2} \Longrightarrow 54f ' (0) = ?$

Para derivar essa função é necessário utilizar a regra da cadeia, pois temos uma função dentro de outra, então digamos que:

$f(x) =u {}^{2} \: \: e \: \: u = \left[ \frac{x + 1}{2x + 3} \right]$

Substituindo essas informações na regra:

$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{du} u {}^{2} . \frac{d}{dx}\left[ \frac{x + 1}{2x + 3} \right] \\ \\ \frac{d}{dx}f(x) = 2u. \frac{d}{dx}\left[ \frac{x + 1}{2x + 3} \right] \: \: \: \: \:$

Para derivar essa outra função vamos usar a regra do quociente, pois trata-se de uma função racional (função sobre outra).

$\boxed{\left( \frac{a(x)}{g(x)} \right) ' = \frac{a'(x).g(x) - a(x).g(x) ' }{(g(x)) {}^{2} }}$

Aplicando essa regra, temos que:

$\left( \frac{x + 1}{2x + 3} \right) ' = \frac{(x + 1)'.(2x + 3) - (x + 1).(2x + 3) ' }{(2x + 3) {}^{2} } \\ \\ \left( \frac{x + 1}{2x + 3} \right) ' = \frac{1.(2x + 3) - (x + 1).2}{(2x + 3) {}^{2} } \\ \\ \left( \frac{x + 1}{2x + 3} \right) ' = \frac{2x + 3 - 2x - 2}{(2x + 3) {}^{2} } \\ \\ \left( \frac{x + 1}{2x + 3} \right) ' = \frac{4x + 1}{(2x + 3) {}^{2} }$

Substituindo essa derivação na regra da cadeia:

$\frac{d}{dx}f(x ) = 2u. \left( \frac{4x + 1}{(2x + 3) {}^{2} } \right)$

Repondo a expressão que representa "u":

$\frac{d}{dx} f(x) = 2. \left( \frac{x + 1}{2x + 3} \right). \left( \frac{4x + 1}{(2x + 3) {}^{2} } \right)$

Pronto, essa é a derivada, agora vamos calcular f'(0), ou seja, substituir no local de "x" o valor "0":

$f ' (0) = 2. \left( \frac{0 + 1}{2.0 + 3} \right). \left( \frac{4.0 + 1}{(2.0 + 3) {}^{2} } \right) \\ \\ f ' (0) = 2. \left( \frac{1}{3} \right). \left( \frac{1}{9} \right) \\ \\ \boxed{ f ' (0) = \frac{2}{27} }$

A questão ainda fala que devemos multiplicar esse resultado por 54, então:

$54 f ' (0) = 54. \frac{2}{27} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{54 f ' (0) = 4}}}}}$

Espero ter ajudado