Question

f'(x) e a função derivada segunda f''(x) relativas a seguinte função f(x)=e^x.(x+sen(x)-cos(x))

Answer 1

Utilizando a fórmula da derivada de um produto, podemos calcular a derivada primeira e a derivada segunda da função dada, de onde obtemos que:

$\frac{d}{dx}\left(e^x\left(x+sen\left(x\right)-cos\left(x\right)\right)\right) = e^xx+2e^x\sin \left(x\right)+e^x$

${dx^2}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = e^xx+2e^x+2e^x\sin \left(x\right)+2e^x\cos \left(x\right)$

Derivadas de primeira e segunda ordem

Para calcular a derivada primeira da função f(x) descrita na questão proposta vamos observar que a lei de formação dessa função é escrita como o produto de duas funções g(x) e h(x) dadas por:

$g(x) = e^x\\h(x) = x + sen(x) - cos(x)$

Portanto, vamos utilizar a regra da derivada do produto para calcular f'(x), de onde obtemos que:

$\frac{d}{dx}\left(e^x\left(x+sen\left(x\right)-cos\left(x\right)\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(e^x\right)\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)e^x$

$\frac{d}{dx}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)+\left(1+\cos \left(x\right)+\sin \left(x\right)\right)e^x\\\frac{d}{dx}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = e^xx+2e^x\sin \left(x\right)+e^x$

Para determinar a segunda derivada, basta derivar a função encontrada no resultado acima:

$\frac{d^2}{dx^2}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = \frac{d}{dx}\left(e^xx+2e^x\sin \left(x\right)+e^x\right)\\\frac{d^2}{dx^2}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = e^xx+e^x+2\left(e^x\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)e^x\right)+e^x \\\frac{d^2}{dx^2}\left(e^x\left(x+\sin \left(x\right)-\cos \left(x\right)\right)\right) = e^xx+2e^x+2e^x\sin \left(x\right)+2e^x\cos \left(x\right)$

Para mais informações sobre derivada, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/38549705

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