Question

f(x)=ax²+bx+c vértice (2,6) e uma raiz no ponto x=5, por favor me ajudem a encontrar o valor de a, b e c. obrigada

Answer 1

Olá

Temos que o vértice de uma parábola é dada da seguinte forma:

$x_v = - \frac{b}{2a}$ e $y_v = - \frac{(b^{2}-4ac)}{4a}$

Como $x_v = 2$, temos que:

$2 = - \frac{b}{2a}$
$-b = 4a$
$b = 4a$

Como o ponto (5,0) pertence a parábola, então, temos que:

$5^{2}.a + 5b + c = 0$
$25a + 5b + c = 0$

E como b = -4a, temos que:

$25a + 5(-4a) + c = 0$
$25a - 20a + c = 0$
$5a + c = 0$
$c = -5a$

O ponto (2,6) também pertence a parábola. Logo,

$2^{2}a + 2b + c = 6$
$4a + 2b + c = 6$

Substituindo os valores de b e c:

$4a + 2(-4a) -5a = 6$
$-a -8a = 6$
$-9a = 6$
$a = - \frac{2}{3}$

Agora substituindo o valor de a em b e c:

$b = -4 \frac{-2}{3} = \frac{8}{3}$
$c = -5 \frac{-2}{3} = \frac{10}{3}$

Portanto, 

$f(x) = \frac{-2x^{2} + 8x + 10}{3}$