Question

(f-ba) em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5

Answer 1

A altura máxima alcançada pelo projétil é 18 metros.

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Complemento da questão: Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 13,5 metros de altura. Do topo do mastro, é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura , em relação ao terreno, é uma função quadrática de sua distância à reta que contém o mastro. O projétil alcança a altura de 16 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de 27 metros. Determine, em metros, a altura máxima alcançada pelo projétil.

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Inicialmente, veja que a trajetória descria pelo projétil é uma parábola. Logo, temos uma equação do segundo grau para representar esse movimento, de acordo com a seguinte fórmula geral:

$y=ax^2+bx+c$

Nesse caso, o coeficiente "c" será a altura do mastro, referente ao valor inicial, ou ainda, a altura quando temos a distância igual a zero. Para calcular os coeficientes "a" e "b", vamos utilizar os pontos fornecidos no enunciado.

$y=ax^2+bx+13,5 \\ \\ (3,16): \ 16=3^2a+3b+13,5 \rightarrow 9a+3b=2,5 \\ (27,0): \ 0=27^2a+27b+13,5 \rightarrow 729a+27b=-13,5$

Vamos multiplicar primeira equação por (-9) e somar com a segunda equação, de modo a eliminar a incógnita "b". Desse modo, será possível calcular a incógnita "a". Depois, voltamos para calcular a incógnita "b".

$9a+3b=2,5 \ [\times (-9)]=-81a-27b-22,5 \\ \\ (729a-81a)+(27b-27b)=(-13,5-22,5) \\ \\ 648a=-36 \rightarrow \boxed{a=-\frac{1}{18}} \\ \\ 3b=2,5-9\times (-\frac{1}{18}) \rightarrow \boxed{b=1} \\ \\ \\ \boxed{y=-\frac{1}{18}x^2+x+13,5}$

Por fim, vamos determinar a altura máxima. Para isso, vamos derivar a equação e igualar a zero, encontrando a distância em que isso ocorre. Depois, basta substituir esse valor na equação original. Portanto:

$y'=-\frac{1}{18}\times 2\times x+1=0 \\ \\ \frac{1}{9}x=1 \\ \\ x=9 \ m \\ \\ \\ y_{max}=y(9)=-\frac{1}{18}\times 9^2+9+13,5=\boxed{18 \ m}$