Question

f a função do 2o grau representada no gráfico abaixo. Imagem Essa função é dada por:
af(x)= -x^2 +4x
bf(x)= -x^2/4+x
cf(x)=x^2+4x
df(x)= x^2/4 - x
ef(x)= x^2-2x
 resposta letra d

Answer 1

Aqui temos uma função cujas raízes são 0 e 4 (respectivamente) desse modo fazemos:
$g(x)=x(x-4)=x^2-4x$
calculamos os pontos para confirmar:
$\bullet~g(0)=0\\\\\bullet~g(2)=2^2-2\cdot 4=4-8=-4\\\\\bullet~g(4)=4^2-4\cdot 4=0$
como no segundo ponto (x = 2) o resultado foi -4 e no gráfico temos g(0)=-1, basta dividir a função por 4, para que no ponto x = 2 a imagem seja -1:
$\displaystyle \frac{g(x)}{4}=\frac{x^2}{4}-x=f(x)$

Justificativa:
O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que:
Seja α, uma raiz de uma função polinomial de grau N, esse polinômio terá exatamente n raízes reais ou complexas, o polinômio será dado pelo seguinte produtório:
$\displaystyle f(x)=\prod_{n=1}^{N}(x-\alpha_i)$
(f(x) é igual ao produtório de x centrado nas raízes)
no nosso caso, temos um polinômio de grau dois (função do segundo grau), descobrimos olhando no gráfico (raiz é onde o gráfico atravessa o eixo x) que as duas raízes são:
$\alpha_1=0\\\alpha_2=4$
então:
$\displaystyle f(x)=\prod_{n=1}^{2}(x-\alpha_i)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)=(x-0)(x-4)=x^2-4x$

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Bons estudos!