Question

f(2x + 1) = 10f(x) - 3
f(31) = 0
Calcule f(0)

Answer 1

Resposta: f(0) = 33333/100000

Explicação passo-a-passo:

É sabido que f(2x + 1) = 10f(x) - 3 * e f(31) = 0, com isso vamos calcular f(2.15 + 1). Substituido x por 15, ou seja, fazendo x = 15 em *, obteremos:

f(2.15 + 1) = 10f(15) - 3 =>

f(30 + 1) = 10f(15) - 3 =>

f(31) = 10f(15) - 3 e f(31) = 0 =>

0 = 10f(15) - 3 =>

3 = 10f(15) =>

f(15) = 3/10

Agora, vamos calcular f(2.7 + 1). Fazendo x = 7 em *, temos:

f(2.7 + 1) = 10f(7) - 3 =>

f(14 + 1) = 10f(7) - 3 =>

f(15) = 10f(7) - 3 e f(15) = 3/10 =>

3/10 = 10f(7) - 3 =>

3/10 + 3 = 10f(7) =>

3/10 + 30/10 = 10f(7) =>

(33/10)/10 = f(7) =>

f(7) = 33/100

Queremos o valor de f(1), portanto o próximo passo é fazer x = 3 em * e depois x = 1 (também em *). Posto isto, temos que f(2.3 + 1) e f(2.1 + 1) são dados, respectivamente, por:

f(2.3 + 1) = 10f(3) - 3 =>

f(6 + 1) = 10f(3) - 3 =>

f(7) = 10f(3) - 3 e f(7) = 33/100 =>

33/100 = 10f(3) - 3 =>

33/100 + 3 = 10f(3) =>

33/100 + 300/100 = 10f(3) =>

333/100 = 10f(3) =>

(333/100)/10 = f(3) =>

f(3) = 333/1000

e

f(2.1 + 1) = 10f(1) - 3 =>

f(2 + 1) = 10f(1) - 3 =>

f(3) = 10f(1) - 3 e f(3) = 333/1000 =>

333/1000 = 10f(1) - 3 =>

333/1000 + 3 = 10f(1) =>

333/1000 + 3000/1000 = 10f(1) =>

3333/1000 = 10f(1) =>

(3333/1000)/10 = f(1) =>

f(1) = 3333/10000 **

Finalmente encontramos o valor de f(1). A partir daqui, para encontrarmos o valor de f(0), faremos x = 0 em * e substituiremos ** na expressão resultante. Logo, f(0) é dado por:

f(2.0 + 1) = 10f(0) - 3 =>

f(0 + 1) = 10f(10) - 3 =>

f(1) ** = 10f(0) - 3 =>

3333/10000 = 10f(0) - 3 =>

3333/10000 + 3 = 10f(0) =>

3333/10000 + 30000/10000 = 10f(0) =>

(33333/10000)/10 = f(0) =>

f(0) = 33333/100000

Que é a resposta desejada.

Abraços!