Question

Expressões irracionais. Simplificação de radicais.

Verifique a identidade abaixo:

$\begin{array}{l}\mathsf{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm \sqrt{\dfrac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}} \end{array}$

para $\mathsf{x,\,y\in\mathbb{R},~~0\le y\le x.}$


Favor responder passo a passo de forma clara, organizada e detalhada. Obrigado. :)

Answer 1

Resposta:

Está provado abaixo que

$\boxed{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}}$

Para as restrições dadas no enunciado.

Explicação passo-a-passo:

Segundo as restrições dadas no enunciado podemos utilizar das seguintes igualdades:

$*\ \ \sqrt{x^2-y^2}\in \mathbb{R}\\\\\ *\sqrt{y^2}=|y| = y$

Vamos então a resolução:

$R=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\pm\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}})\\\\E=\sqrt{x+\sqrt{x^2-y^2}}\pm\sqrt{x-\sqrt{x^2-y^2}}\implies R=\frac{E}{\sqrt{2}}\\\\\\\\E^2=x+\sqrt{x^2-y^2}\pm2\sqrt{x^2-(x^2-y^2)}+x-\sqrt{x^2-y^2}\\\\E^2=2x\pm2y\\\\E=\pm\sqrt{2*(x\pm y)}\\\\|E|=\sqrt{2}*\sqrt{x\pm y}$

Para prosseguir, é necessário provar que |E| = E, utilizando-se das condições dadas pelo enunciado.

$a = \sqrt{x^2-y^2}\implies 0\leq a\leq x\\\\b=x+a\implies 0\leq x\leq b\\\\b^*=x-a\implies 0\leq b^*\leq x\implies0\leq b^*\leq b\\\\\frac{d}{dx}\sqrt{x}>0 \ (x>0)\implies(0\leq b^*\leq b \implies 0\leq\sqrt{b^*}\leq\sqrt{b})\\\\E=\sqrt{b}\pm\sqrt{b^*}\implies E\geq 0\implies |E|=E$

$\\\\\sqrt{x\pm y}=\frac{|E|}{\sqrt{2}}=\frac{E}{2}=R\\\\\\\\\boxed{\sqrt{x\pm y}=\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{2}}\pm\sqrt{\frac{x-\sqrt{x^2-y^2}}{2}}}$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

No lugar de √(x±y) coloca α. Depois eleva ambos os membros ao quadrado, não se esquecendo que no final tem que extrair a raiz para compensar o que fez no inicio.

α² = [x+√(x²-y²)]/2 + 2√{[x+√(x²-y²)]/2.[x-√(x²-y²)]/2}+ [x-√(x²-y²)]/2, cancela √(x²-y²)/2.

α² = x + 2√{[x+√(x²-y²)]/2.[x-√(x²-y²)]/2}.

α² = x + 2√{[x²-(x²-y²)]/4}.

α² = x + 2√{[x²-x²+y²)]/4}.

α² = x + 2(√y²/4).

α² = x + 2(y/2).

α² = x + y.

α = √(x + y)

Fiz com o positivo. Como o negativo é a mesma coisa e no final chegarás em α = √(x - y).