Question

Expresse, em termos de n, mediante a notação de fatorial os produtos a seguir : A)1^2×2^2×3^2×4^2....n^2; B) 1×3×5×7.....(2n+1). Alguém me ajuda !??

Answer 1

Expressar uma fórmula fechada, em termos de n, para os seguintes produtos:

A)  Produto dos quadrados.

     $\mathsf{P(n)=1^2\cdot 2^2\cdot 3^2\cdot 4^2\cdot \ldots\cdot n^2}\\\\ \mathsf{P(n)=(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot\ldots\cdot n)^2}$

     $\mathsf{P(n)=(n!)^2}$        ✔


B)  Produto dos ímpares.

     $\mathsf{P(n)=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)}$


Observe que para completar um fatorial, faltam os fatores pares. Então, vamos multiplicar e dividir por  $\mathsf{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot\ldots\cdot (2n):}$

     $\mathsf{P(n)=\dfrac{\big[1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2n+1)\big]\cdot (2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots\cdot (2n))}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots\cdot (2n)}}\\\\\\ \mathsf{P(n)=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot \ldots\cdot (2n-1)\cdot (2n)\cdot (2n+1)}{(2\cdot 1)\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 3)\cdot \ldots\cdot (2\cdot n)}}\\\\\\ \mathsf{P(n)=\dfrac{(2n+1)!}{(\underbrace{\mathsf{2\cdot 2\cdot 2\cdot \ldots\cdot 2}}_{n~fatores})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n)}}$

     $\mathsf{P(n)=\dfrac{(2n+1)!}{2^n\cdot n!}}$        ✔


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Bons estudos! :-)